初中数学因式分解经典题

初中数学竞赛专题培训 第一讲：因式分解(一)

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法 ＝(a-b)+2c(a-b)+c =(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b) 7

52

25

7

2

2

2

22

22

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2

-b2

=(a+b)(a-b)； (2)a2

±2ab+b2

=(a±b)2

； (3)a3

+b3

=(a+b)(a2

-ab+b2

)； (4)a3

-b3

=(a-b)(a2

初中数学

因 式 分 解

一、因式分解的意义：

因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A．(x?1)(x?1)?x2?1 B．(a?b)(m?n)?(b?a)(n?m)

2C．ab?a?b?1?(a?1)(b?1) D．m?2m?3?m(m?2?3) m说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.

例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为?(3x?1)(x?2y)的是（ ）

A．3x2?6xy?x?2y B．3x2?6xy?x?2y C．x?2y?3x2?6xy D．x?2y?3x2?6xy

二、因式分解的方法 类型一、提公因式法

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）

A．x2y?5xy?y?y(x2?5x)

B．a(a?b?c)?b(c?a?b)?c(b?a?c)??(a?b?c)2 C．x(2?a)?x(a?2)?x(2?a)(x?1) D．2ab?4ab?ab?2ab(b?2b?1)

说明 A式左边是3项，而右边展开后是两项；D式左边无公因式2，

八年级上学期数学因式分解期末复习题

1、若实数满足2、已知

，则

，则

．

的值为

3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________.

4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值 ．

5、因式分解：6、已知实数7、若8、9、如果

满足，则，则

，则

的平方根等于 ．

的值是_______________． ___________。

是一个完全平方式，则= .

10、 已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________.

11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知

，则

.

13、 －a4÷(－a)＝ ； 15、把下列各式分解因式：

18、如果

，求的值．

19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值．

20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8．

22、

23、（1）已知am=2，an=3，求①am+n的值； ②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。

第二部分：习题大全

经典一：

一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

32分解因式： m-4m= .

223.分解因式： x-4y= __ _____.

2 x 4x 4=___________ ______。 4、分解因式：

5.将x-yn分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y)，则n的值为 . n22

2222x y 5,xy 6xy xy2x 2y6、若，则=_________，=__________。

二、选择题

7、多项式15mn 5mn 20mn的公因式是( )

A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) 222232223

a 3 a 3 a2 9a2 b2 a b a b A、 B、

3 m2 2m 3 m m 2 a 4a 5 a a 4 5m C、 D、2

10.下列多项式能分解因式的是（ ）

22222(A)x-y (B)x+1 (C)x+y+

初中因式分解的常用方法

一、提公因式法.

如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用

a2?b2?(a?b)(a?b), a2?2ab?b2?(a?b)2,

a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)写出结果． 三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

第 1 页 共 8 页

1

例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2

练习：分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz

综合练习：（1）x3?x2y?xy2?y3 （2）ax2?bx2?bx?ax?a?b

（3）x2?6xy?9y2?16a

周末练习

班级 姓名

2223

1.若△ABC三边分别是a,b,c,且满足(b-c)(a+b)=bc-c, 试判断△ABC的形状．

变式训练：

2.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．

3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，试判定△ABC的形状.

4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）36和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k-2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

5．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正方形共用了176根火柴棍，并且正三角形的个数比正方形的个数多12个，求搭建正三角形和正方形的个数分别是多少？

变式训练

八年级上学期数学因式分解期末复习题

1、若实数满足2、已知

，则

，则

．

的值为

3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________.

4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值 ．

5、因式分解：6、已知实数7、若8、9、如果

满足，则，则

，则

的平方根等于 ．

的值是_______________． ___________。

是一个完全平方式，则= .

10、 已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________.

11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知

，则

.

13、 －a4÷(－a)＝ ； 15、把下列各式分解因式：

18、如果

，求的值．

19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值．

20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8．

22、

23、（1）已知am=2，an=3，求①am+n的值； ②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。

1．分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c5

2．分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)

3．分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz

4．分解因式

（1）(x+y)(y+z)(z+x)+xyz

（2）(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3

（3）(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

（4）(y-z)5+(z-x)5+(x-y)5

5．求证：2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式

6．把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式

7．分解因式x4+x3+x2+2

8．若a是自然数，且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数，求这个质数

9．分解因式x4-x3+4x2+3x+5

10．分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4

11．求证：有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数

12．分解因式

（1）x4+x3-3x2-4x-4

（2）x4+y4+(x+y)4

（3）x3(a+1)-

初中数学竞赛辅导资料（19）

因式分解

甲内容提要 和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法

1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc

①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)

例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1

① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）

② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－1

高一数学学案 序号 001 学生

第1课 因式分解

一、基本知识点回顾

1、把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 例：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ A、xy2(x?1)?x2y2?xy2

）

B、x2?9?(x?3)(x?3)

D、ax?bx?c?x(a?b)?c

C、x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2

2、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

例：①5x2?x2y的公因式为 ；②9x3y2?12x2y2?6xy3的公因式为

3、分解因式的平方差公式： 分解因式的完全平方公式： 注意：

1、 因式分解的方法：提取公因式法；公式法

2、 提取公因式法因式分解的思路：一看系数（数字）找它们的最大公约数，二看字母找它们相同