初中数学因式分解经典题
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初中数学竞赛-因式分解(1)
初中数学竞赛专题培训 第一讲:因式分解(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法 =(a-b)+2c(a-b)+c =(a-b+c).
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下: 原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)
(4)原式=(a-ab)+(ab-b) 7
52
25
7
2
2
2
22
22
和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2
-b2
=(a+b)(a-b); (2)a2
±2ab+b2
=(a±b)2
; (3)a3
+b3
=(a+b)(a2
-ab+b2
); (4)a3
-b3
=(a-b)(a2
初中数学专题训练--整式--因式分解
初中数学
因 式 分 解
一、因式分解的意义:
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式
例01.下列四个从左到右的变形,是因式分解的是( )
A.(x?1)(x?1)?x2?1 B.(a?b)(m?n)?(b?a)(n?m)
2C.ab?a?b?1?(a?1)(b?1) D.m?2m?3?m(m?2?3) m说明 对因式分解理解应注意:①分解因式与因式分解是同义词;②结果应是整式乘积,而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.
例02.在下面多项式中,能通过因式分解变形为?(3x?1)(x?2y)的是( )
A.3x2?6xy?x?2y B.3x2?6xy?x?2y C.x?2y?3x2?6xy D.x?2y?3x2?6xy
二、因式分解的方法 类型一、提公因式法
例01.在下面因式分解中,正确的是( )
A.x2y?5xy?y?y(x2?5x)
B.a(a?b?c)?b(c?a?b)?c(b?a?c)??(a?b?c)2 C.x(2?a)?x(a?2)?x(2?a)(x?1) D.2ab?4ab?ab?2ab(b?2b?1)
说明 A式左边是3项,而右边展开后是两项;D式左边无公因式2,
(已改)因式分解难题经典题
八年级上学期数学因式分解期末复习题
1、若实数满足2、已知
,则
,则
.
的值为
3、分解因式: a3+a2-a-1=______________.
4、已知a+b=2,则a2-b2+4b的值 .
5、因式分解:6、已知实数7、若8、9、如果
满足,则,则
,则
的平方根等于 .
的值是_______________. ___________。
是一个完全平方式,则= .
10、 已知实数x 满足x+=3,则x2+的值为_________.
11、若a2+ma+36是一个完全平方式,则m= . 12、已知
,则
.
13、 -a4÷(-a)= ; 15、把下列各式分解因式:
18、如果
,求的值.
19、已知a+b=﹣5,ab=7,求a2b+ab2﹣a﹣b的值.
20、(x﹣1)(x﹣3)﹣8.
22、
23、(1)已知am=2,an=3,求①am+n的值; ②a3m﹣2n的值 (2)已知(a+b)2=17,(a﹣b)2=13,求a2+b2与ab的值. 24、先化简,再求值:已知:a2+b2+2a一4b+5=0求:3a2+4b-3的值。
因式分解的经典题(共五套)
第二部分:习题大全
经典一:
一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
32分解因式: m-4m= .
223.分解因式: x-4y= __ _____.
2 x 4x 4=___________ ______。 4、分解因式:
5.将x-yn分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y),则n的值为 . n22
2222x y 5,xy 6xy xy2x 2y6、若,则=_________,=__________。
二、选择题
7、多项式15mn 5mn 20mn的公因式是( )
A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( ) 222232223
a 3 a 3 a2 9a2 b2 a b a b A、 B、
3 m2 2m 3 m m 2 a 4a 5 a a 4 5m C、 D、2
10.下列多项式能分解因式的是( )
22222(A)x-y (B)x+1 (C)x+y+
初中数学因式分解(精华例题)(学案)
初中因式分解的常用方法
一、提公因式法.
如多项式am?bm?cm?m(a?b?c),
其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式. 二、运用公式法. 运用公式法,即用
a2?b2?(a?b)(a?b), a2?2ab?b2?(a?b)2,
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)写出结果. 三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:am?an?bm?bn
例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx
练习:分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:x2?y2?ax?ay
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1
例4、分解因式:a2?2ab?b2?c2
练习:分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz
综合练习:(1)x3?x2y?xy2?y3 (2)ax2?bx2?bx?ax?a?b
(3)x2?6xy?9y2?16a
因式分解--提高题
周末练习
班级 姓名
2223
1.若△ABC三边分别是a,b,c,且满足(b-c)(a+b)=bc-c, 试判断△ABC的形状.
变式训练:
2.已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,试判定△ABC的形状.
4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数” (1)36和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k-2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
5.如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形,公共边只用一根火柴棍.如果搭建正三角形和正方形共用了176根火柴棍,并且正三角形的个数比正方形的个数多12个,求搭建正三角形和正方形的个数分别是多少?
变式训练
(已改)因式分解难题经典题
八年级上学期数学因式分解期末复习题
1、若实数满足2、已知
,则
,则
.
的值为
3、分解因式: a3+a2-a-1=______________.
4、已知a+b=2,则a2-b2+4b的值 .
5、因式分解:6、已知实数7、若8、9、如果
满足,则,则
,则
的平方根等于 .
的值是_______________. ___________。
是一个完全平方式,则= .
10、 已知实数x 满足x+=3,则x2+的值为_________.
11、若a2+ma+36是一个完全平方式,则m= . 12、已知
,则
.
13、 -a4÷(-a)= ; 15、把下列各式分解因式:
18、如果
,求的值.
19、已知a+b=﹣5,ab=7,求a2b+ab2﹣a﹣b的值.
20、(x﹣1)(x﹣3)﹣8.
22、
23、(1)已知am=2,an=3,求①am+n的值; ②a3m﹣2n的值 (2)已知(a+b)2=17,(a﹣b)2=13,求a2+b2与ab的值. 24、先化简,再求值:已知:a2+b2+2a一4b+5=0求:3a2+4b-3的值。
因式分解竞赛题
1.分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c5
2.分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
3.分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz
4.分解因式
(1)(x+y)(y+z)(z+x)+xyz
(2)(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3
(3)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
(4)(y-z)5+(z-x)5+(x-y)5
5.求证:2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式
6.把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式
7.分解因式x4+x3+x2+2
8.若a是自然数,且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数,求这个质数
9.分解因式x4-x3+4x2+3x+5
10.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4
11.求证:有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数
12.分解因式
(1)x4+x3-3x2-4x-4
(2)x4+y4+(x+y)4
(3)x3(a+1)-
初中数学竞赛辅导资料 因式分解
初中数学竞赛辅导资料(19)
因式分解
甲内容提要 和例题
我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法
1. 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例1因式分解:①x4+x2+1 ②a3+b3+c3-3abc
①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) ②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
例2因式分解:①x3-11x+20 ② a5+a+1
① 分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数)
② 解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-1
001因式分解
高一数学学案 序号 001 学生
第1课 因式分解
一、基本知识点回顾
1、把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 例:下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( A、xy2(x?1)?x2y2?xy2
)
B、x2?9?(x?3)(x?3)
D、ax?bx?c?x(a?b)?c
C、x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2
2、我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
例:①5x2?x2y的公因式为 ;②9x3y2?12x2y2?6xy3的公因式为
3、分解因式的平方差公式: 分解因式的完全平方公式: 注意:
1、 因式分解的方法:提取公因式法;公式法
2、 提取公因式法因式分解的思路:一看系数(数字)找它们的最大公约数,二看字母找它们相同