复合函数链式求导法则二阶导数

* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)

(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)

(e x ) e x

(6) (log a x ) 1 (ln x ) x

1 ( a 0, a 1) x ln a

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三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：

[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：

[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)

动手做一做1. 求下列函数的导数：

y

2 3 xx

3

2

(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx

1 y 4 ln 4 x ln 3

( 3) y sin x e

x

y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1

(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3

2 x 6 x

课件

第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

课件

导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

课件

( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

课件

左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = li

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·复习 初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式. ·引入 前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法. ·讲解新课

第四节 隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数 一 隐函数的求导法

把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．

如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化. 如将方程x+y-1=

0化成y=

隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．

如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．

求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数． 例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y '解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得y

y'x=-y(x+ey≠0). yx+e

dy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

同步练习

1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于

A．sinα B．cosα C．sinα+cosα D．2sinα 2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于

1916A． B．

331310C． D．

333．函数y=xsinx的导数为

A．y′=2xsinx+xcosx

sinxx B．y′=

sinx2x+xcosx

C．y′=+xcosx D．y′=

sinxx－xcosx

4．函数y=x2cosx的导数为 A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx

5.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= . 6. 若y=3cosx-4sinx ,则y’= . 7．与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是______．

?8．质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=时，瞬时速度为___________．

29.求曲线y=x3+x2

二阶系统的斜坡响应、脉冲响应分析

一、 要求

（1）时域响应函数 （2）时域指标 （3）与阶跃响应的对比 （4）结合matlab进行相关分析 二、二阶标准传递函数 开环传函： 闭环传函： 输出：

二阶系统的时间响应取决于 和 这两个参数，由上面的公式数学模型来研究二阶系统时间响应及动态性能指标。

二、阶系统的响应分析

时域响应函数： 1、单位斜坡响应

由上式取反拉氏变换可以得到单位斜坡响应的时间函数：

sin(

,

2、单位脉冲响应

单位脉冲响应的时间函数：

sin(

3、单位阶跃响应

单位阶跃响应的时间函数：

sin(

,

实域指标：

a、单位斜坡响应

1、 无阻尼情况（ ）

p =0 + 4i和0- 4i

稳态误差：

=0

系统的斜坡响应在斜坡函数上等幅震荡 2、欠阻尼情况（ ）

p = -2.0000 + 3.4641i和 -2.0000 - 3.4641i

取

调节

函数二阶不动点问题求解策略 以2013年高考数学题为例

我们先看2013年高考数学江西卷理科第21题以及官方提供的解答：

1【试题1】（2013江西）已知函数f(x) a(1 2x ),a为常数且a 0。 2

1⑴证明：函数f(x)的图像关于直线x 对称； 2

⑵若x0满足f(f(x0)) x0，但f(x0) x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2，试确定a的取值范围；

⑶对于⑵中的x1,x2和a， 设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,0)，记 ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性。 1111【解析】⑴证明：因为f( x) a(1 2x),f( x) a(1 2x)，有f( x) f( x)，所以函2222

1数f(x)的图像关于直线x 对称。 2

1 24ax,x 1 2⑵当0 a 时，有f(f(x)) ，所以f(f(x)) x只有一个解x 0，又f(0) 0，2 4a2(1 x),x 1

2

1 x,x 1 1 2故0不是二阶周期点；当a 时，有f(f(x)) ，所以f(f(x)) x有解集 x|x ，2 2 1 x,x 1

2

THBCC-1实验平台 5/31/2013 6:17:00 PM

实验二 二阶系统瞬态响应

一、 实验目的

1.通过实验了解参数ζ（阻尼比）、ωn（阻尼自然频率）的变化对二阶系统动态性能的影响。

2.掌握二阶系统动态性能测试方法。 二、实验设备

1. THBCC-1型信号与系统控制理论及计算机控制技术试验平台； 2.PC机一台（含“THBCC-1”软件）、USB数据采集卡、37针通信线一根、16 芯数据排线、USB接口线； 三、实验内容

1.观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；

2.调节二阶系统的开环增益K，使阻尼比ζ=1/2，测量此时系统的超调量δp、调节时间ts（Δ=±0.05）;

3. ζ为一定时，观测系统在不同ωn时的响应曲线。 4.了解Matlab的使用。 四、实验数据或曲线

1.用“THBCC-1”软件观测并记录、保存不同实验曲线。 (1)ωn=10，ζ取不同值时试验曲线

图1当ωn=10， ?=0.2时，此时系统处于欠阻尼状态,查超调量约 为42%

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘