如何培养分类讨论思想

浅谈初中生分类讨论思想的培养

永州市第十六中学 屈宗清

数学思想方法是新知识拓广的指导思想，是数学概念、定理、公式的认识论基础，是解题策略的源泉。分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，抓住问题的本质，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性。

分类讨论思想是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，在知识发展的各个阶段所反映出不同的层次性。在数学教学中，我们既要重视数学知识应用阶段的教学，更要重视形成阶段的教学，把数学思想方法的训练贯穿于教学始终，充分揭示数学思维过程，将“发现过程中的数学”返璞归真地教给学生，帮助他们了解问题的本来面目，回复问题的本源。我想，这才是数学教学追寻的最终目的。 （一） 在概念教学中渗透分类讨论意识和原则

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在

第三讲 分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题无法得到统一结果，结论不确定，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”． 1．分类讨论时必须遵循的原则

(1)施行分类的集合的全集必须是确定的； (2)分类的标准必须是统一的；

(3)分类必须是完整的，不能出现遗漏； (4)各子集域必须是互斥的，不出现重复； (5)如需多级分类，必须逐级进行，不得越级． 2．分类讨论的步骤

(1)明确讨论的对象，确定对象的全体； (2)确定分类的标准，正确进行分类； (3)逐类进行讨论，获得阶段性的结果；

(4)归纳小结，总结出结论． 3．分类讨论的常见类型

(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、

中考专题：分类讨论思想

【知识梳理】

1.分类讨论思想：在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解决问题的思想叫做分类讨论。

2.分类思想的实质：按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

3.分类讨论思想的三个原则： 不遗漏、不重复、同标准。 4.引起分类讨论的主要原因：

（1）概念本身是分类定义的(如绝对值)；

（2）某些公式、定理、性质、法则是有条件和范围限制的； （3）题目条件和结论的不唯一；

（4）问题中的变量或含有需讨论的参数，要进行分类讨论的；

（5）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。

【典例剖析】

1. 以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径 （以形为手段,以数为目的）

例1矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为_________。

例2直角三角形的两边长分别为6和8，则此三角形的外接圆半径是 。

例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=

中考专题：分类讨论思想

【知识梳理】

1.分类讨论思想：在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解决问题的思想叫做分类讨论。

2.分类思想的实质：按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

3.分类讨论思想的三个原则： 不遗漏、不重复、同标准。 4.引起分类讨论的主要原因：

（1）概念本身是分类定义的(如绝对值)；

（2）某些公式、定理、性质、法则是有条件和范围限制的； （3）题目条件和结论的不唯一；

（4）问题中的变量或含有需讨论的参数，要进行分类讨论的；

（5）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。

【典例剖析】

1. 以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径 （以形为手段,以数为目的）

例1矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为_________。

例2直角三角形的两边长分别为6和8，则此三角形的外接圆半径是 。

例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=

浅谈在数学教学中对学生进行“分类讨论”思想的培养

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。分类讨论一般应遵循以下的原则：

1） 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准。

2） 分类要完整：不重复，不遗漏。

3） 有时分类并不是一

分类讨论思想在初中数学中的应用

【摘要】分类讨论既是一种逻辑方法又是一种重要的数学思想，对分类讨论思想考查的一个重要目的是检测学生的理性思维。依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分析解决问题.应用分类讨论思想解决问题,必须保证分类科学、统一,不重复,不遗漏,并力求最简.运用分类讨论的思想,通过正确的分类,可使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.本文就初中数学中常见的分类讨论问题作一简要的分析与探讨

【关键词】分类讨论思想；概念；公式；位置关系；三角形 【中图分类号】g623.5【文献标识码】b【文章编号】1001-4128（2011）07-0110-03

推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治波利亚说过：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路” 。随着课程改革的深入， “应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习

分类讨论思想在数学解题中的应用

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是高考考查的重点和热点问题。也是学生感到棘手的问题，之所以感到困难，因为对于分类讨论本身而言，如何想到该分类讨论，如何确定分类的标准进行合理分类就是一个比较难的事。分类讨论思想的类型常见的有以下方面：⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的。学生在处理分类讨论问题时，有的不知道分类，有的知道分类但找不到分界点，有的讨论过程中有重复和遗漏，有的讨论之后不会归纳总结，下面结合一选修1-1教学案例，谈谈我在这方面的教学体会。

例1、已知函数，讨论函数的单调区间。

解：

函数的定义域是，

由得，因为，所以

讨论①当时，，；

②当时，恒成立，所以时，

由得，因为，所以

讨论③当时，；

④当时，不等式不成立，无解。

综上所述：当时，在区间上单调递增，在区间

上单调递减；当时，在区间上单调递增。

求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号．

解答过程的难点在于分类讨论，为什么要以零为界对进行分类？由得出这一步，由于这是解关于的一元一次不等式，要解出必须同除以系数，当为正数时不改变不

小学生空间观念的形成及培养

随着科学技术的进步，几何教学中培养的空间观念与能力，对其他领域产生的影响越来越大。如CT，核磁共振，机器人，电视，传真等技术，都与之有着密切的联系。在小学阶段强化儿童空间观念的培养，有助于发展他们的思维能力和空间想象力，为学习几何知识奠定扎实的基础，有助于孩子逐步了解、探索、把握现实世界的数学空间，学会用数学眼光、数学思维去观察客观世界、帮助他们更好地生存、活动和成长。

教学中，教师必须了解和研究学生在学习中的心理现象及其规律，掌握学生空间观念形成的过程及其阶段性，才能有针对性地、更有效地培养学生的空间观念。下面就从心理学的角度分析小学生空间观念的形成及其特点。

一、小学生空间观念的形成

（一）空间观念的定义

所谓空间观念是指在空间知觉的基础上形成起来的，对物体的方向、距离、大小和形状

的知觉，是客观世界空间形式在人脑中的表象。它是一种比较复杂的知觉过程，包括形状知觉、大小知觉、深度知觉和方位知觉。

（二）空间观念的结构 1、形状知觉

由于幼儿的形状知觉发展很快，一般在小班时就能辨别圆形、方形和三角形，中班时能

把两个三角形拼成一个大三角形，把两个半圆拼成一个圆形；到大班时还能认识椭圆形、菱形、五角形、六角形和圆柱体

生物化学教学与素质培养分析 本文关键词：生物化学，素质，培养，教学，分析

生物化学教学与素质培养分析 本文简介：摘要：使学生从“要我学”达到“我要学”的学习境界，教师必须明确教学目标，激发学生的学习兴趣，鼓励学生大胆创新，强化学生科学精神和科学思维的培养，充分发挥学生的积极性和主动性，提高学生分析问题和解决问题的能力。还要建立良好的师生关系，重视学生的个性发展，全面提高学生的综合素质。关键词：生物化学教学；要

生物化学教学与素质培养分析 本文内容：

摘要：使学生从“要我学”达到“我要学”的学习境界，教师必须明确教学目标，激发学生的学习兴趣，鼓励学生大胆创新，强化学生科学精神和科学思维的培养，充分发挥学生的积极性和主动性，提高学生分析问题和解决问题的能力。还要建立良好的师生关系，重视学生的个性发展，全面提高学生的综合素质。

关键词：生物化学教学；要我学；我要学；素质培养

教育的根本标准是促进人的全面发展，适应社会需要。然而长期以来传统的应试教育，严重地束缚了学生的自主性和创造力。生物化学是生命科学的基础和前沿，是现代生物学和分子生物学的共同语言[1]，也是高等院校生物学相关专业普遍开设的重要主干课程。教师难教，学生难学。为了提高生物化学的教学质量，笔

生物化学教学与素质培养分析 本文关键词：生物化学，素质，培养，教学，分析

生物化学教学与素质培养分析 本文简介：摘要：使学生从“要我学”达到“我要学”的学习境界，教师必须明确教学目标，激发学生的学习兴趣，鼓励学生大胆创新，强化学生科学精神和科学思维的培养，充分发挥学生的积极性和主动性，提高学生分析问题和解决问题的能力。还要建立良好的师生关系，重视学生的个性发展，全面提高学生的综合素质。关键词：生物化学教学；要

生物化学教学与素质培养分析 本文内容：

摘要：使学生从“要我学”达到“我要学”的学习境界，教师必须明确教学目标，激发学生的学习兴趣，鼓励学生大胆创新，强化学生科学精神和科学思维的培养，充分发挥学生的积极性和主动性，提高学生分析问题和解决问题的能力。还要建立良好的师生关系，重视学生的个性发展，全面提高学生的综合素质。

关键词：生物化学教学；要我学；我要学；素质培养

教育的根本标准是促进人的全面发展，适应社会需要。然而长期以来传统的应试教育，严重地束缚了学生的自主性和创造力。生物化学是生命科学的基础和前沿，是现代生物学和分子生物学的共同语言[1]，也是高等院校生物学相关专业普遍开设的重要主干课程。教师难教，学生难学。为了提高生物化学的教学质量，笔