柯西中值定理简介

奥古斯丁·路易斯·柯西

同学们大家好，历经高考，进入大学，选择数学为专业，是一件很明智的事。在我们已学过的几科专业课中，如数学分析，常微分方程，初等数论，复变函数

中，有一个数学家频频出现。你们是否已经猜到是谁了呢？是的，他就是伟大的数学家——柯西（Augustin Louis Cauchy）。柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...接下来我们来了解下有关他的详细内容。 个人履历

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预

第3章中值定理与导数的应用

内容概要

课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/

=ξf ，得到的根ξ便为所求。 解：（1）∵32)(2

--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ， ∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=

即为所求。 （2）∵

x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令

()0

f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数

25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()

第3章中值定理与导数的应用

内容概要

课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/

=ξf ，得到的根ξ便为所求。 解：（1）∵32)(2

--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ， ∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=

即为所求。 （2）∵

x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令

()0

f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数

25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()

第3章 中值定理与导数的应用

内容概要 名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(a)?f(b) f/(ξ)?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 ??(a,b) 使得f/(ξ)?f(b)?f(a)b?af(x)、g(x)：（1）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导；（2）在(a,b)内每点处g/至少存在一点ξ?(a,b) 使得(x)?0 f/(ξ)f(b)?f(a)?b?ag/(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型； 0?0?2）0??型：常用取倒数的手段化为型或型，即： 0?00??0????或0????； 1/?01/0?1）???型：常用通分的手段化为1）0型：取对数得000取对数化为 基本形式 ?e0?ln0，其中0?ln0?0??????； 1/0?00?1/?0或0?ln0?0???2）1型：取对数得1???e??ln1， 00? 1/?0

第3章 中值定理与导数的应用

∴

f (x) 0有3个实根，分别为ξ1 (1,2)、ξ2 (2,3)、ξ3 (3,4)。

★★★11.证明下列不等式：

（1）

arctana arctanb a b ； （2） 当 x

1时，ex ex ；

。

（3） 设 x

11

0，证明ln(1 x) x； （4） 当x 0时，ln(1 )

x1 x

知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y f(x)，通过式子f (ξ)

（或

f(b) f(a)b a

f(b) f(a) f (ξ)(b a)）证明的不等式。

证明：（1）令f(x) arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

arctana arctanb f (ξ)(b a)

1

b a b a2

1 ξ

。

（2）令

f(x) ex(x 1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，

x

∴由拉格朗日中值定理，得e∵1

e eξ(x 1)，

ξ x，∴ex e eξ(x 1) e(x 1) ex e，从而当 x 1时，ex ex。

（3）令

f(x) ln(1 x)(x 0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导

一 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即

f(x+1)?f(x)

≈0

1这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′ x =0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在

一 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即

f(x+1)?f(x)

≈0

1这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′ x =0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在

安 阳 师 范 学 院

微分中值定理及其应用

张庆娜

（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002）

摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用

定理3.2（罗尔中值定理） 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （2）f(x)在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)?f(b),

则在开区间(a,b)内至少存在一点?,使得

f?(?)?0.

定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （2）f(x)在开区间(a,b)内可导； 则在开区间(a,b)内至少存在一点?,使得

安 阳 师 范 学 院

f(b)?f(a).

b?a定理3.4（柯西中值定理） 若函数f(x),g(x)满足如下条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f?(x),g?(x)不同时为零； （4）g(a)?g(b)；

f?(?)?则在开区间?a,b?内存在

勒 柯布希耶

柯布西耶的介绍:

勒·柯布西耶(Le Corbusier1887年10月6日-1965年8月27日)，原名Charles Edouard Jeannert-Gris，是20世纪最重要的建筑师之一，是现代建筑运动的激进分子和主将。他和瓦尔特·格罗皮乌斯、路德维格·密斯·凡·德·罗并称为现代建筑派或

国际形式建筑派的主要代表。又译做柯比意。

勒·柯布西耶出生于瑞士西北靠近法国边界的小镇，父母从事钟表制造，少内时曾在故乡的钟表技术学校学习，对美术感兴趣，1907年先後到布达佩斯和巴黎学习建筑，在巴黎到以运用钢筋混凝土著名的建筑师奥古斯特·贝瑞处学习，後来又到德国贝伦斯事务所工作，彼得·贝伦斯事务所以尝试用新的建筑处理手法设计新颖的工业建筑而闻名，在那里他遇到了同时在那里工作的瓦尔特·格罗皮乌斯和路德维格·密斯·凡·德·罗，他们互相之间都有影响，一起开创了现代建筑的思潮。他又到希腊和土耳其周游，参观探访古代建筑和民间建筑。

勒·柯布西耶于1917年定居巴黎，同时从事绘画和雕刻，与新派立体主义的画家和诗人合编杂志《新精神》，按自己外祖父的姓取笔名为勒·柯布西耶，他在第一期就写到：“一个新的时代开始了，它植根于一种新的精神，有明确目

微分中值定理习题五

?ln(1?x)　　,当x??1,x?0?1、设f(x)?? 在(?1,??)上连续, x?,当x?0,?　A　　　　求A值,并判定f?(x)在x?0处的连续性.

?xlnx　　,x?0,x?1,?1?x?2、设函数f(x)??　0　　　,x?0，试证明f(x)在?0,???上连续,并求f?(1).

?　?1　　,x?1，??3、设函数f?x?具有一阶连续导数,且f?0??0,f tanxf(x)?x设函数f(x)具有二阶导数,且f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?2,试求lim. 4、2x?0xf?1?cosx??0??2,试求lim. 2x?0f(sin2x). 5、设函数f(x)具有连续二阶导数,且f(0)?f?(0),f??(0)?6 , 求lim4x?0xf(sin2x?cosx),且f(1)?0,f?(1)?2,试求lim. 6、设f(x)具有连续一阶导数x?0xtanx??(x)?cosx，x?0,?7、设f(x)?? 其中?(x)具有二阶导数,且?(0)?1 x??　　a　　，x?0.(1)确定a,值使f(x)在x?0处连续;

(2)讨论f?(x)在x?0处的连续性.1?1x??(1?x)x