大学数学第三章答案

第三章 金属凝固热力学与动力学

1． 试述等压时物质自由能G随温度上升而下降以及液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由。并结合图3-1及式（3-6）说明过冷度ΔT是影响凝固相变驱动力ΔG的决定因素。

答：(1)等压时物质自由能G随温度上升而下降的理由如下：

由麦克斯韦尔关系式：

dG??SdT?VdP （1）

??F???F??y)??dy ?dx??????x?y??y?x??G???G??dT???dP （2）

??T?P??P?T??G????V ?P??T并根据数学上的全微分关系：dF(x,得： dG????G????S,比较（1）式和（2）式得： ??T??P等压时dP =0 ，此时 dG??SdT????G??dT （3） ??T?P由于熵恒为正值，故物质自由能G随温度上升而下降。

(2)液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由如下： 因为液态熵大于固态熵，即： SL ＞ SS 所以：

第十六讲 第三章习题课

一．关于L测度的几个问题

1．可测集的子集是否一定可测？（否） 2．零测集是否一定有界？（否）

3．含有内点的可测集，其测度是否一定大于零？（是。因为每个邻域都包含区间，而区间的测度是大于零的。）【推论：非空开集的测度必大于零。】

4．E1,E2是可测集，且E1是E2的真子集，是否必有mE1?mE2？（否） 5．G1,G2是开集，G1是G2的真子集，是否必有mG1?mG2？（否。反例：设

G1?(1,2)(2,3),G2?(1,3)。或者令G1?G2??P0?G2，则G1是开集，0?，其中P且是G2的真子集，但易知mG1?mG2。）

6．（1）设G是开集，F是非空闭集，F?G，是否必有m(G?F)?0？（是。此时

G?F是非空开集。）

（2）设G是开集，F是非空闭集，F?G，是否必有mG?mF？（否，因为它们

的测度可能都为无穷。反例：设a?b，令G??a,???,F??b,???，则F闭，G开且F?G，但mG?mF???。）

（3）设G是测度有限的非空开集，F是非空闭集，F?G，是否必有mG?mF？（是。此时，由（1）有mG?mF?m(G?F)?0。）

7．E是可测集，是否必有mE?mE。（否。反例：E是[0,1]中有

第十六讲 第三章习题课

一．关于L测度的几个问题

1．可测集的子集是否一定可测？（否） 2．零测集是否一定有界？（否）

3．含有内点的可测集，其测度是否一定大于零？（是。因为每个邻域都包含区间，而区间的测度是大于零的。）【推论：非空开集的测度必大于零。】

4．E1,E2是可测集，且E1是E2的真子集，是否必有mE1?mE2？（否） 5．G1,G2是开集，G1是G2的真子集，是否必有mG1?mG2？（否。反例：设

G1?(1,2)(2,3),G2?(1,3)。或者令G1?G2??P0?G2，则G1是开集，0?，其中P且是G2的真子集，但易知mG1?mG2。）

6．（1）设G是开集，F是非空闭集，F?G，是否必有m(G?F)?0？（是。此时

G?F是非空开集。）

（2）设G是开集，F是非空闭集，F?G，是否必有mG?mF？（否，因为它们

的测度可能都为无穷。反例：设a?b，令G??a,???,F??b,???，则F闭，G开且F?G，但mG?mF???。）

（3）设G是测度有限的非空开集，F是非空闭集，F?G，是否必有mG?mF？（是。此时，由（1）有mG?mF?m(G?F)?0。）

7．E是可测集，是否必有mE?mE。（否。反例：E是[0,1]中有

3.4 解：

双线性变换法：

21?z?11?z?1?由于T=2，则：s?

T1?z?11?z?1H(z)?Ha(s)|11|??121?z1?zs?s?1?z?121?z?1s?s?1?1?11?z1?z()??11?z?11?z?1(1?z?1)2? ?12?1?1?12(1?z)?(1?z)(1?z)?(1?z)?1?1?2z?1?z?2?3?z?2脉冲响应不变法：

Ha(s)?1s2?s?1?j33j?331313s?(??j)s?(??j)2222

33?jj33H(z)??13131?e?(??j)T22?z?1?1?ej?(?j)T22z?1?j1?e33z333)?1(?1?j3)?11?e?(1?jz

3.7 解：

数字滤波器的截止频率为：

2?fc2??103wc?2?fcT???1

fs6.28318?103根据脉冲响应不变法，模拟滤波器的截止频率?c?2?fc?wc/T?三阶巴特沃斯滤波器的归一化系统函数为：Ha(s)?进行反归一化，令s?s/?c，则

11 T1 231?2s?2s?s?c31Ha(s)??3231?2s/?c?2(s/?c)?(s/?c)?c?2s?c2?2s2?c?s3?c?(?c/3)ej?/6

3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率Vi（m/s）

试求(1)平均速率V；（2）方均根速率V 解：（1）平均速率：

V?2?1.00?4?2.00?6?3.00?8?4.00?2?5.00?3.18(m/s)

2?4?6?8?222 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 （3）最可几速率Vp

(2) 方均根速率

V2??NiVi2?3.37(m/s)

?Ni(3) 最可几速率Vp=4(m/s).

3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间vp～1.0vp1内 （2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内

（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内

解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=?dN??dN??dN

V100V2V2V1令v2=1.01vp，vi=vp，xi?题结果可得；

vivv，则x1?1?1，x2?2?1.01，利用16vpvpvp22?N122?erf(x2)?x2e?x2?erf(x

[习题解答]

?

?3

3-1 用榔头击钉子，如果榔头的质量为500 g，击钉子时的速率为8.0 m?s1，作用时间为2.0?10

s，求钉子所受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。

解 对于榔头：

,

式中I1是榔头所受的冲量，

是榔头所受钉子的平均打击力；

对于钉子：

,

式中I2是钉子受到的冲量，

是钉子所受的平均打击力，显然

= ?

。

题目所要求的是I2和

：

,

I2的方向与榔头运动方向一致。

,

的方向与榔头运动方向一致。

3-2 质量为10 g的子弹以500 m?s

?1

的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为

400 m?s?1 。如果子弹穿过木板所需时间为1.00?10?5 s，试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹

的平均阻力。

解

(1)用动能定理求解：

, (1)

其中

是木板对子弹的平均阻力，d为穿过木板的厚度，它可用下面的关系求得：

, (2)

. (3)

由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为

&nb

.

根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为

.

(2)用动量定理求解：

,

.

与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。

3-4 质量为m的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率

习题 一、填空题

1．晶体管工作在放大区时，具有 发射结 正偏、 集电结 反偏的特点。 2.晶体管工作在饱和区时，具有 发射结 正偏、 集电结 正偏的特点。 3. 饱和失真和截止失真属于 非线性失真 ，频率失真属于 线性失真 。 4.共集电极放大器又叫射极输出器，它的特点是：输入电阻 高 （高、低）；输出电阻

低 （高、低）；电压放大倍数约为 1 。

5.多级放大器由输入级、____中间级_____ 和输出级组成；其耦合方式有__阻容耦合____和直接耦合、变压器耦合三种；集成运算放大器运用的是 直接耦合 耦合方式。 6．三种最基本组态的放大器分别是共基极放大电路、___共发射极_______和___共集电极。其中输入电阻最大的是 共集电极 电路，而输出电阻最小的是 共集电极 电路。 7.多级放大电路的电压放大倍数为各级电压放大倍数的 乘积 。输入电阻约等于 第一级的输入电阻 电阻，而输出电阻约等于 输出级的输出电阻 电阻。

8.多级放大器总的上限频率比其中任何一级的上限频率都要__低___(高/

3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为

???(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向r?(6t2?1)ij（单位：米，秒）

大小。

??6???12?解：∵a?d2r/dt2?12ij, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴

质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：

??????arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'

3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：

???bsin?t?r?acos?tij，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

??bsin?t?证明：∵a?d2r/dt2???2(acos?tij)???2r ???F?ma??m?2r, ∴作用于质点的合力总指向原点。

3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？

解：以地为参考系，设谷物的质量为m

第三章 答案

2.设（DS）=2000H,(ES)=2100H,(SS)=1500H, (SI)=00A0H,

（BX)=0100H,(BP)=0010H,数据变量VAL的偏移地址为0050H,指出下列指令的源操作数字段是什么寻址方式？它的物理地址是多少？ 解：

（1） MOV AX，21H 立即寻址 （2） MOV AX，BX 寄存器寻址 （3） MOV AX， [1000H] 直接寻址

物理地址=16d*段地址(DS)+偏移量（EA） =2000H*16+1000H=21000H （4） MOV AX ，VAL 直接寻址

物理地址=16d*段地址(DS)+偏移量（EA） =2000H*16+0050H=20050H （5） MOV AX，[BX] 寄存器间接寻址

物理地址=16d*段地址(DS)+偏移量（EA） =2000H*16+0100H=20100H （6） MOV AX，ES：[BX] 寄存器间接寻址

物理地址=16d*段地址(ES)+偏移量（EA）

=2100H*16+0100H=21000H+0100H=21100

3－１ 填空题：

1．速度瞬心是两刚体上 瞬时速度相等 的重合点。 2．若 瞬心的绝对速度为零 ，则该瞬心称为绝对瞬心； 若 瞬心的绝对速度不为零 ，则该瞬心称为相对瞬心。

3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于 垂直于导路方向的无穷远 处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在 接触点处 ；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在 过接触点两高副元素的公法线上 。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用 三心定理 来求。

5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于 一条直线 上。

6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是 K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。

8．速度比例尺μν表示图上 每单位长度所代表的速度大小 ，单位为： (m/s)/mm 。 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小 ，单位为 (m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于 构件 ，而不能应用于整个机构。

10．在摆动导杆机构中，