实变函数试题库参考答案

实变函数试题库及参考答案（5） 本科

一、填空题

1．设A,B为集合，则A?B___(B\\A)?A

2．设E?R，如果E满足E?E（其中E表示E的内部），则E是

n00)必为G3．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)?G且a?G,b?G，则(a,b的

4．设A?{x|x?2n,n为自然数}，则A的基数a(其中a表示自然数集N的基数) 5．设A,B为可测集，B?A且mB???，则mA?mB__m(A\\B)

6．设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a?b)，都有E[xa?f(x)?b]是

7．若E(?R)是可数集，则mE__0 8．设

?fn(x)?为可测集E上的可测函数列，f(x)为E上的可测函数，如果

fn(x)?f(x)二、选择题

1a.e(x?E)，则fn(x)?f(x)x?E（是否成立）

1、设E是R中的可测集，?(x)是E上的简单函数，则 （ ） （A）?(x)是E上的连续函数 （B）?(x)是E上的单调函数 （C）?(x)在E上一定不L可积 （D）?(x)是E上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ）

（A）A?(B?C)?(A?B)?(A?C) （B）(

实变函数测试题1

本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系15173241399

1、设 A2n?1?(0,1/n),A2n?(0,n),n?0,1,2...,求出集列{An}的上限集和下限集合。 解：limAn??0,??；设x??0,??，则存在N，使x?N，因此n?N时，0?x?n，

n??即x?A2n，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多An，得x?limAnn??又显然limAn??0,??，所以limAn??0,??。

n??n??n??limAn??；若有x?limAn，则存在A，使任意n?N,有x?An。因此若2n?1?N时，

n??x?A2n?1，即0?x?1.令n??得0?x?0，此不可能，所以limAn??。 nn??2、证明：f(x)为[a,b]上连续函数的充分必要条件是对任意实数c，集E?xf(x)?c和

??E1??xf(x)?c?都是闭集。

证明：必要性：若f(x)是?a,b?上连续函数，由第二章习题8可知E1和E是闭集。 充分性：若E1和E都是闭集。若有x0??a,b?，f(x)在x0点不连续。则存在

?0?0,xn?x0,f?xn??f?x0???0，或f?xn??f?x0???0，不妨

实变函数

《实变函数》作业参考答案

一．判断题

1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。 二．

1．证明：(??I?A?)?B??(A??B).

??I证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0,1)和[0,1]之间一一对应的一种方法。 证明：令{x1,x2,x3,...}?(0,1)，做f(x)，使得

?1?f(x)??0?x?n?2其它处，f(x)?x. 三．证明题

x?x1x?x2， x?xn,n?21. 设fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE??，而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x)，则对任意的??0，存在常数c与可测集E0?E，m(E\\E0)??，使在E0上，对一切n，有|f(x)|?c。 证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明CG?{x|f(x)?a}是开集，事实上，对任意x?CG，则f(x)?a，由连续函数的局部保号性，存在??0，使得对一切的t?

考 学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 题号 得分 一 答二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 '?此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是

实变函数试题库及参考答案 本科

一、题

1．设A,B为集合，则?A\\B??B?A?B（用描述集合间关系的符号填写） 2．设A是B的子集，则A?B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4．有限个开集的交是开集

5．设E1、E2是可测集，则m?E1?E2??mE1?mE2（用描述集合间关系的符号填写） 6．设E??是可数集，则mE=0

17．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测集，则称f?x?在E上可测

n*8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x??gn?x??f?x??g?x? 10．设f?x?在E上L可积，则f?x?在E上可积

11．设A,B为集合，则?B\\A??A?A（用描述集合间关系的符号填写） 12．设A?2k?1k?1,2,?，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 13．设E??，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14．任意个开集的并是开集

15．设E1、E2是可测集，且E1?E2，则mE1?mE2 16．设E中只有孤立点，则mE=0

117．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如

复变函数

一、选择题

1. 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)且u(x,y)是区域D内的调和函数,则当v(x,y)在D内是（ C ）时, f(z)在D内解析. A. 可导函数 2、复积分?

B.调和函数

C.共轭调和函数

dz的值为（ B ） n(z?a)C(A) 0 (B) 0;2?i (C) 不存在 (D) 2?i

3、z?0是f(z)?sinz的奇点类型是（ D ） z(A) 一阶极点 (B) 本性奇点 (C) 不是奇点 (D) 可去奇点

4、计算(e1??i2)的结果是（ B ）

(A) i (B) ?i (C) 0 (D) ?i

5、下列函数在Sz处处解析的是（ C ）

(A) f(z)=ez (B) f(z)=z (C) f(z)=ez (D) f(z)=zRe z

6．当x〈0, y?0时,argz=( C ).

yyA

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i_____

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i_____

实验二 美沙拉嗪的制备

1. 如何控制硝化反应条件？硝基还可以采用哪些还原方法？并加以比较。 温度的控制、搅拌速度的控制、混酸滴加的速度 方法：催化氢化法、水合肼还原、氢化铝锂还原

催化氢化：干净、方便、成本高；水合肼还原：产率高、后处理方便、还原反应较为剧烈、水合肼碱性较强；氢化铝锂还原：还原能力强、易爆炸，不安全

2. 硝化反应时产生的气体是什么？是否有毒？除了使用排风系统外，还有什么方法能除

去？

NO、NO2等氮氧化物 有毒溶液吸收法；氧化吸收法；利用活性炭、分子筛或硅胶吸附 3. 硝基还原反应时，除了用铁作还原剂外还能用什么试剂作为还原剂？ 氢气、水合肼、氢化铝锂、锡

4. 保险粉和亚硫酸氢钠的作用分别是什么？ 防氧化

5. 保险粉又称连二亚硫酸钠，使用它时需要注意什么？

由于保险粉易燃、易爆，与水分解，与空气氧化分解，在使用过程中需要防止明火，无水操作，少于空气接触。

6. 此反应中活性炭起什么作用？ 脱色

实验三 对氨基苯甲酸乙酯（苯佐卡因）的制备 1. 写出制备苯佐卡因的实验原理。

COOH+CH3CH2OHNHCOCH3H2SO4+CH3COOHNHCOCH3COOCH2CH3NH2CH3+2KMnO4+H2O+(CH3CO)