高数上册公式总结

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

内容要点

一、实数与区间

实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。 二、邻域

领域的定义；领域的中心；领域的半径。 三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性

函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

例1 函数y?2. 定义域D?(??,??), 值域Rf?{2}. ?x,例2 (E01)绝对值函数 y?|x|????x,x?0x?0

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) y?1与y?sinx?cosx;

(2) y?2x?1与x?2y?1.

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.

22?1,x?0,?(1)（E02）符号函数 y?sgnx??0,x?0, x?sgnx.|x|.

??1,x?0.?(2)（E03）取整函数y?[x], 其中, [x]表示不超过x的

教 案

日期： 授课章节 教学目的 和要求 教学重点 和难点 教学进程 §１０.１对弧长的曲线积分 §１０.２对坐标的曲线积分 １理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 ２掌握计算两类曲线积分的方法 两类曲线积分的计算方法 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧段的长度的最大值??0? i?1n这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? n记作?Lf(x,y)ds? 即lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则

教 案

日期： 授课章节 教学目的 和要求 教学重点 和难点 教学进程 §１０.１对弧长的曲线积分 §１０.２对坐标的曲线积分 １理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 ２掌握计算两类曲线积分的方法 两类曲线积分的计算方法 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧段的长度的最大值??0? i?1n这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? n记作?Lf(x,y)ds? 即lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则

高等数学（上）期中复习资料

基础数学协会 2014.11

第一章 函数与极限

1函数的极限

??(1)函数连续性的判断：f (x)在x0连续?fx?fx?f?x?(2)求函数的间断点：1）第一类间断点（左右极限都存在）：a.可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b.跳跃间断点：左右极限存在但不相等。2）第二类间断点：除第一类间断点以外的所有的间断点。 2数列的极限

（1）证明数列极限存在的方法： 1）夹逼定理 ?n?N,当n?n时有?n?n且lim?a,limn?a00nnn??n??

则xn存在极限且,limn?a n??????yxzxyz2）单调有界定理 3）柯西准则

常见的极限不存在的情况：1）子数列发散2)子数列虽收敛但极限不同 （2）求极限方法：

1）定义法证明猜想的极限； 2）夹逼准则；

3）柯西极限存在守则； 4）换元法求极限

5）先证明有极限（多用单调有界定理），再用极限值直接代入求解,例如 常见的等价无穷小 x?0时，

x?sinx?tanx?arcsinx?arctanx?ln（1?x）?ex?1

1 1-cosx?x2，ax?1?xlna，(1+x)a?1?ax2

极限化简常用的

高等数学期末及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

2x1、lim(1?3x)x?0?______.。

x?x?0?e2、当k 时，f(x)??2在x?0处连续．

??x?kx?03、设y?x?lnx,则

dx?______ dy4、曲线y?ex?x在点（0，1）处的切线方程是 5、若

?f(x)dx?sin2x?C，C为常数，则f(x)? 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数f(x)?xx，则limf(x)?（ ）

x?0A、0 B、?1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. ln1(x?0?) B. lnx(x?1) C. cosx (x?0) D. xx?2(x?2) x2?43、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、

???0sinxdx B、?e?2xdx C、?0????0?

页码 7 行数 倒数3行 倒数7行 内容 (??,?2)?(?1,?2)?(?1,??) 更正 (??,?2)?(?2,?1)?(?1,??) 当q?0时, 结论显然成立. 当q?0时, lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242n 删除这句话 删除这句话 ) lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242n21 倒数6行 54 98 148 倒数9行 倒数3行 倒数11行 ) (x1,xn) (a,b) ??(t) f(x)f?(x)g(x)g?(x)?0, x?(a,b), ?(t) f(x)g?(x)?f?(x)g(x)?0, x?(a,b), 13行 173 倒数9行 (2) 存在两个不同的点?, ??(0,1), (2) 存在两个不同的点?, ??(0,1), 使得使得f?(?)?f?(?)?1. aa??(16) limx?arctan?arctan?; x???xx?1??2f?(?)?f?(?)?1. tanx1行 ?1?(16) lim???x?0?x?; 1112行 181 13行 ?a?xlna?x(6) lim?x? x?0?b?lnb?nxx2?a?xlna?xlim?x? x?0?b?x

八年级上册 教材分析

一、教材总体思路分析

1．本册书的主要内容有：实数、一次函数、二元一次方程组；勾股定理、图形的平移与旋转、四边形、位置的确定；数据的代表。

其中无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点也是和难点，实数是进一步学习的基础；而函数以及函数思想与其他知识的广泛联系也是重心之一。 勾股定理及其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。通过拼、摆或图形的割、补，使得这一重要几何事实得以确认。由于发现及证实它成立的方式非常多且富于变化，因此对学生有很大的吸引力。《图形的平移与旋转》是新增加的内容，通过学习，可以把静止的图形看成是基本图形经过位移而得到，提供了对复杂图形进行分析的新视角，还可以对“几何变换”有直观的感受。《位置的确定》从源头上突出了坐标法产生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结合与转化的桥梁。“变化的鱼”以直观生动的形式加强了几何变换与坐标表示及坐标变化联系起来，从数与形两个方面感受图形变化的数学内涵。

在统计与概率领域，本册提供了刻画数据平均水平的三种量度，力图让学生掌握一定的数据分析的方法，更好地处理数据。

第 1 课时 11月 11 日 NO:040

教学内容：期中试卷讲评 学习目标： 1、通过反馈测试评价的结果，了解自已知识、能力水平，提高解题能力， 提高数学 综合素质。

2、通过分析错题，找出错因，矫正、巩固、充实、完善和深化常见题型的答题技巧。

学习重点：

1、查漏补缺，发现不足。

2、进一步加强各类题型的解题方法指导。 学习难点：

1、进一步提高解题能力 2、提高数学综合素质。 学习过程： 一、总结分析 1、公布考试结果 对考试情况进行分析：优秀学生24人，全班最高分是100， 最低分55。

2、表扬优秀的学生和进步明显的学生 教师通报本次考试基本情况，通过全班横评，使学生对自己的成绩有一个客观的了解和清晰的认识。确定学习的目标和今后努力的方向。

师导入课题： 这节课我们就这针对张试卷出现问题较多的地方做一下重点分析，以达到查漏补缺的目的。 二、典型例题

1、先让学生自查试题，反思造成错误的原因，再写出正确答案。 2、典型题型分析说明

（一）填空题第7小题 ：全班同学都不会，分析原因是学生

第1周：

1、把一个表面积是48平方分米的正方体，分成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是多少？

2、一个长方体，高减少2厘米，就成为一个表面积是150平方厘米的正方体。求原来长方体的表面积。 第2周：

1、 用两个同样大小的长方体拼成一个正方体，这个正方体的棱长是10

厘米，原来每个长方体的表面积是多少平方厘米？

2、 一个长方体，长10分米，宽8分米，高5分米。把它切成同样的两

个小长方体，表面积可能会增加多少？

3、 一个长方体，把它的长减少5厘米，变成一个表面积是96平方厘米

正方体。原来长方体的表面积是多少？

4、 12个棱长1厘米的小正方体堆成一个长方体，表面积最大是多少平

方厘米？最小是多少平方厘米？

5、 把两个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、15厘米的长方体拼成一

个较大的长方体。

（1） 表面积最多减少多少平方厘米？ （2） 表面积最少减少多少平方厘米？ （3） 拼成后表面积最大是多少平方厘米？ （4） 拼成后表面积最小是多少平方厘米？

第3周：

1、下面每个小正方体的体积为1立方厘米，求出下列图形的表面积和体积。

（求表面积请列式计算）

表面积： 表面积：