小学奥数幻方问题

2014年四年级数学思维训练：幻方与数阵图扩展

1．把1，2，?，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．

2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．

6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？

试卷第1页，总6页

7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？

8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、

2014年四年级数学思维训练：幻方与数阵图扩展

1．把1，2，?，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．

2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．

6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？

试卷第1页，总6页

7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？

8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、

幻方问题探究

桂林师范专科学校数学与计算机科学系 刘锡萍

]

[摘 要]：本文探究了幻方的起源和各种构造方法，并论述了幻方的更完美对称性和一些不同形式的数阵及其简单应用。

[关键词]：河图，洛书，幻方，幻和，数阵。

幻方的起源

2

幻方是一种古老的流行的数学游戏。n阶幻方就是把整数1，2，3，?，n排列成n*n阵列，使得每行中的各数之和，每列中的各数之和以及两条主对角线中的各数之和都是同一个数Sn。数Sn称为n阶幻方的幻和。图1是几个幻方的例子：

n2(n2?1)在n阶幻方中所有整数之和是1+2+3+??+n=。n阶幻方的幻和

22

n(n2?1)Sn=，具体地说，3阶幻方的幻和S3=15，4阶幻方的幻和S4=34，5阶幻方的幻和

2S5=65，??。

幻方起源于何时何地？我国《易·系辞》中有这样的表述：“河出图，洛出书，圣人则（仿效）之。”（如图2）。相传，在远古时代，大禹带领百姓治理好波涛汹涌的水患之后，有一匹龙马从河中跃出，它背上的毛旋自然的组成一组花纹，叫做“河图”，在洛水边有一只神龟，龟背上有一些奇妙的斑点，称为“洛书”。（如图3） 河图、洛书被认为是上天用来启示人类智慧的天机所在，包含许多治理国家的大道理，并被作为辟

幻方的研究与调查结果报告

西工大附中 初一（24）班 刘雨璇 指导老师：路树军

幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

幻方，一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

幻方（OEIS中的数列A006052）的数目还没有得到解决。

1 种类 完全幻方 完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等。 乘幻方 乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。 高次幻方 n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的 n个数的和相等。例子：（三阶幻方，幻和为15，） 4 9 2 3 8 5 7 1 6 三阶幻方中间必填5 高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。 反幻方 反幻方的定义：

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。

小学奥数时钟问题

钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的、在圆周上的行程问题；如求分针与时针重合、成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。为解好这类问题应掌握以下基础知识.即常用关系式.

1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走格.为0.5°.分针速度是时针速度的12倍，时针是分针速度的.

2．时针和分针在重合状态时，分针每再走60÷(1－次. )=65(分),再与时针重合一

3. 若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为: a÷(1－)(分)

4. 两针垂直,表示它们所成最小角是90°.

5. 两针在一直线上，它们成的角是180或0

现举几例阐述解题方法与思路.

例1、现在是4时,什么时候,时针和分针第一次相遇？

解：由20÷（1-）=21（分）,在4点21分.

例2、在10时与11时之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?

解：第一次垂直需走 5÷（1-）=5（分）,在10点5

趣味数学,幻方,偶数一个N行N列的方阵,如果每行N个数的和、每列N个数的和,每条对角线上N个数的和全部都等于同一个数,就称这个方阵为N阶幻方阵(魔方阵)。

1234567891011121442314114067137136101113313

1415161718192021222324131311301617127126202112312224252627282930313233343536251191182829115114323311111036373839404142434445464748108383910510442431011004647974950515253545556575859609650519392545589885859856162636465666768697071726183826465797868697574727374757677787980818283847371707677676680816362848586878889909192939495966086875756909153529495499798991001011021031041051061071084898994544102103414010610

四年级奥数详解答案 第4讲

第四讲 幻方

一、知识概要

1. 幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连

续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。

2. 三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中，

第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)

二、经典例题精讲

1. 将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。

分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心

数四角上的数。如图所示：

(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：8?2 1?9)

2. 将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。

分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不

变(先按从左到右、从上到下的

小学奥数同余问题

同余问题（一）

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24

小时，

，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7

时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号

37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7） “”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：

2. 同余的性质

（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）

（2）若，那么（这称作同余的对称性）

（3）若性）

（4）若，，则（这称为同余的传递，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）

（称为同余的可乘性）

（5）若有趣的现象：

如果 ，则，n为正整数，同余还有一个非常

小学奥数同余问题

那么（的差一定能被k整除）

这是为什么呢？

k也就是的公约数，所以有

下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】

例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

分析与解答：

假设这个自然数是a，