各种矩阵秩的关系

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A

２０１１年５月湖北成人教育学院学报Ｍａｙ，２０１１第１７卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕＢｅｉＡｄｕｌｔＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶ０１．１７ＮＯ．３矩阵的秩例题教学浅析陈洪１，陶燕芳２（１．华中农业大学理学院，湖北武汉，４３００７０；２．长江职业学院公共课部，湖北武汉，４３００７４）［摘要】本文从矩阵的秩的定义和定理出发，对三个矩阵的秩的典型例题进行分析讲解。加深学生对抽象概念的理解和掌握。［关键词】矩阵的秩；不等式；教学方法［中图分类号］０１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－－３８７８（２０１１）０３—０１２２—＿０１矩阵的秩是线性代数的重要内容，它不仅是矩阵的一分析：引导学生注意最关键的条件ＡＢ＝０。这是一个个本质属性，而且在解线性方程组、判断向量组的线性相矩阵方程，如何将其与矩阵的秩联系起来是解题的关键。关性、求矩阵的特征值等方面有广泛的应用。因此，涉及由于矩阵方程可以通过分块的方法最终转为线性方程组。到此知识点的题目类型较多，且多需要综合运用各种知故通过线性方程组解的讨论将有助于找到条件与结论的识。由于教学中此内容课时较紧，学生往往在解抽象矩阵联系。基本思路如下：ＡＢ＝ＤｊＡ（ｂ１，ｂ：，…，ｂ，）＝ＤｊＡ６１

等价矩阵

线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个阵：

的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩 的矩阵P以及

的矩阵Q，使得

相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得

由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，

中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。 性质 等价关系。

两个矩阵等价当且仅当：

其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。 它们有相同的秩。

参见

相似矩阵 合同矩阵

这是与数学相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。 相似矩阵

线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：

或

矩阵A与B之间的相似变换矩阵。 相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。 严格定义

域为

矩阵的秩的可加性性质分析

2 1年第5 00期

金色年华

数学教

矩阵的秩的可加性性质分析陈宇

(商丘医学高等专科学校临床医学系，河南商丘 4 60 ) 7 10

【 -c摘￣]章给出了矩阵的秩具有可加性的一个充分条件， s获得了矩阵论中的若干定理与命题的简单证法，而刻画了一类矩阵的进秩特征。

【关键词】矩阵的秩；幂等阵；对合阵

矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念，是矩阵最重

要的数字特征之一。它最早是由Sl sr 16年引进的”。随 y et于 81 v e后，y etr Foe i s SI s与 rbnn建立了矩阵秩的一些重要的不等式， v e u并且用矩阵秩的某些特征来刻画一些重要矩阵，如幂等矩阵、对合矩阵等。为叙述方便，我们以命题的形式表示如下。 命题 1 sl s r y et不等式 ) A、都是 I c v e (设 B 1阶矩阵，则rA ) (+rB) ( B≥rA) (一n

对(:行等换： (一]:A鳓 D:j初变 ):一 -J+ 进一 (。 B即 rA≥rA) rB)。 ( B) (+ (一n

命题 2 n阶矩阵是 A幂等阵 ( A) 即A=的充要条件为 rA) (+r(—=n E A)。

证明 () 1必要性由 A= A可得 A-

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶

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方阵的秩与特征值的关系

作者：秦川李小飞

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2015年第27期

【摘要】对于n阶方阵而言，秩和特征值都是其重要特征，本文将建立它们之间的联系。通过矩阵的秩，得到矩阵的特征值的相关信息;反过来，通过矩阵的特征值的情况，得到矩阵的秩的取值范围。

【关键词】n阶方阵 ;特征值 ;秩 ;实对称矩阵

【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.

【Key wo

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

问题：我们知道地震记录可以有很多种道集方式，比如csp，共炮记录，也就是野外的单炮。还有，crp，共接收点道集。cdp共深度点道集，cmp，共中心点道集。

这些道集之间有何关系？比如反射层近似水平，cdp和cmp可以视作相同等。

各种道集又有什么用处，主要用来做什么。比如cmp 用来做速度分析，然后叠加等。。

课本中常提起的三种道集：共炮点道集、共接收点道集、共反射点道集

共炮点道集：同一炮点激发，不同检波点接收的所有道形成道集为这一炮点的共炮点道集，可用于求取炮点静校正的参数。

共接收点道集：不同炮点激发，同一检波点接收的所有道形成道集为这一检波点的共接收点道集，可用于求取接收点静校正的参数。

共反射点道集：每次观测到的都是来自地下同一点的反射，该反射点交这些道德共反射点，这些道组成的道集是该反射点的共反射点道集。

共偏移距道集：按照同一个偏移距，从不同共炮集或共道集数据抽取形成的道集，也就是说，这个道集的偏移距是相同的。

共转换点道集是进行转换波勘探所形成的，与共反射点道集是相似的，只是计算方法不同。

①共炮点和共接收点记录用于求取炮点和检波点的静校正量；

②在野外作业中，通过显示共炮点记

港口水利工程高程、水位关系转换

56黄海高程基准和85国家高程基准的关系

国家８５高程基准其实也是黄海高程基准，只不过老的叫“1956年黄海高程系统”，新的叫“1985国家高程基准”，新的比旧的低0.029m 我国于1956年规定以黄海(青岛)的多年平均海平面作为统一基面，为中国第一个国家高程系统，从而结束了过去高程系统繁杂的局面。但由于计算这个基面所依据的青岛验潮站的资料系列（1950年～1956年）较短等原因，中国测绘主管部门决定重新计算黄海平均海面，以青岛验潮站1952年～1979年的潮汐观测资料为计算依据，并用精密水准测量接测位于青岛的中华人民共和国水准原点，得出1985年国家高程基准高程和1956年黄海高程的关系为： 1985年国家高程基准高程=1956年黄海高程-0.029m。 1985年国家高程基准已于1987年5月开始启用，1956年黄海高程系同时废止。 各高程系统之间的关系 56黄海高程基准：+0.000

85高程基准（最新的黄海高程）：56高程基准-0.029 吴淞高程系统：56高程基准+1.688 珠江高程系统：56高程基准-0.586 我国目前通用的高程基准是：85高程基准

一直没搞清楚56黄海高