行列式的若干应用毕业论文

行列式的计算方法

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

摘要：行列式是高等代数的一个基本概念。求解行列式是在高等代数的学习中经常遇到的基本问题。本文主要介绍了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降阶法、升阶法、归纳发、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结与每种方法相适应的行列式的特征。 关键词：行列式的定义 行列式的性质 计算方法

1

1 行列式的基本理论

（1）行列式的定义

a11a21行列式的定义:n阶行列式用符号Dn??an1a12?a1na22?a2n表示，它代表n！项的代数

??an2?ann和，这些项是一切可能的取自于Dn中不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2?anjn，项，a1j1a2j2?anjn的符号为(?1)?(j1j2?jn)，即当j1j2?jn为偶（奇）排列时该项的符号为正（负）也就是说

Dn?j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn这里j1j2?jn表示对所有n阶排列求和。

?（2） 行列式的性质

首先我们应该熟练掌握并会运用行列式的以下性质: 性质1:行

计算行列式的若干方法

摘要：行列式是数学分支中一个非常重要的内容，其应用范围非常广泛，而应用行列式理论的前提就是能熟练地掌握行列式的计算方法，这也是整个代数分支的重点和难点。计算行列式有许多种方法，但是往往可以根据所求行列式的特征来选取不同的计算方法，从而提高解题效率。本文列举了一些计算行列式的方法包括定义法、对角线法、化成三角形行列式法、补行列法、降阶法、析因子法、数学软件法，并对不同的计算方法适用于什么情形进行简单总结。

关键词：行列式 定义法 升降阶法 析因子法

Several methods for calculating determinant

Abstract: The determinant in mathematics branch is a very important content. Its application scope is

widespread, but the premise of application determinant theory can grasp the computational method of the determinant skilled. This is also the key

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

昆 明 学 院

2010 届毕业设计（论文）

设计（论文）题目 行列式的计算方法研究

姓 名 学 号 S006054127 所 属 系 数学系

专业年级 数学与应用数学2006级数学<1>班 指导教师

2010年 5 月

行列式的计算方法研究 摘要

在线性代数中，行列式是个函数。在本质上，行列式描述的是在n维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式的概念出现的根源是解线性方程组。本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。

关健词： 行列式 计算 方法 方法举例

行列式的计算方法研

南京林业大学 本科毕业设计（论文）

题

目： N阶行列式计算方法探索

学 院： 理 学 院 专 业： 信息与计算科学 学 号： 091101223 学生姓名： 姚 梅 指导教师： 朱 敏 职 称： 讲 师

二O一 三 年 五 月二十二日

摘 要

行列式的计算是行列式理论中的重要组成部分和难题,而计算行列式的固定方法是不存在的,应该根据行列式的特点应用各种不同的计算方法。本篇论文应用行列式的性质，探讨了多种计算行列式的方法。首先列举了一些常用方法：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，然后介绍了一些比较特殊的方法如：数学归纳法与递推法，加边法，拉普拉斯定理的应用等等。但这几种方法之间都不是相互独立的，而是有一定关联的。一个行列式可能有多种解答方法，或者是在同一个行列式的计算中将同时会用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的若干种解法之后，能够灵活运用，找到一种

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x1

Vn

1x2

1xn

x12 x1n 1

2n 1x2 x2

1≤j i≤n

x x ，

i

j

2n 1xn xn

当这些xi两两互异时，Vn 0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f x a0 a1x a2x anx有n 1个互异的零点x1,x2, ,xn 1，则有

2

n

f xi a0 a1xi a2xi2 anxin 0，1 ≤ i ≤ n 1．

即

a0 x1a1 x12a2 x1nan 0,

2n

a0 x2a2 x2a2 x2an 0,

a xa x2a xna 0.

n 1n 0n 1nn 12

这个关于a0,a1, ,an的齐次线性方程组的系数行列式

x1x2

x12

2

x2

x1n

nx2

1≤j i≤n 1

x x 0，

i

j

xn 1

2nxn xn 1 1

因此a0 a1 a2 an 0．这个矛盾表明f x 至多有n个互异根．

例2 设a1,a2, ,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2, ,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L x ：

L x bi

i 1

j i

n

x a

范德蒙行列式及其应用

摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.

关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换 一．

范德蒙行列式定义及性质

1.范德蒙行列式的定义

定义1 关于变元x1,x2?xn的n阶行列式

1x1Dn?x121x2x2?x2n?12?????1xnxn?xnn?12 (1)

?x1n?1叫做x1，x2?xn的n阶范德蒙行列式，记作Vn（x1,x2,…xn）. 2.我们用定理证明范德蒙德行列式

已知在错误！未找到引用源。级行列式

中，第错误！未找到引用源。行（或第错误！未找到引用源。列）的元素除错误！未找到引用源。外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。与它的代数余子式错误！未找到引用源。的乘积错误！未找到引用源。 ，在

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。倍得

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

根据上述定理

错误！未找到引用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x11x2Vn???1xnx12?x1n?12n?1x2?x2???xi?xj?，

??1≤j?i≤n2n?1xn?xn当这些xi两两互异时，Vn?0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f?x??a0?a1x?a2x2???anxn有n?1个互异的零点x1,x2,?,xn?1，则有

f?xi??a0?a1xi?a2xi2???anxin?0，1 ≤ i ≤ n?1．

即

?a0?x1a1?x12a2???x1nan?0,?2n?a0?x2a2?x2a2???x2an?0, ? ???a?xa?x2a???xna?0.n?1n?0n?1nn?12这个关于a0,a1,?,an的齐次线性方程组的系数行列式

11?x1x2?x122x2???x1nnx2???xi?xj??0， ?1≤j?i≤n?11xn?12nxn?xn?1?1因此a0?a1?a2???an?0．这个矛盾表明f?x?至多有n个互异根．

例2 设a1,a2,?,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2,?,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L?x?：

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x1

Vn

1x2

1xn

x12 x1n 1

2n 1x2 x2

1≤j i≤n

x x ，

i

j

2n 1xn xn

当这些xi两两互异时，Vn 0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f x a0 a1x a2x anx有n 1个互异的零点x1,x2, ,xn 1，则有

2

n

f xi a0 a1xi a2xi2 anxin 0，1 ≤ i ≤ n 1．

即

a0 x1a1 x12a2 x1nan 0,

2n

a0 x2a2 x2a2 x2an 0,

a xa x2a xna 0.

n 1n 0n 1nn 12

这个关于a0,a1, ,an的齐次线性方程组的系数行列式

x1x2

x12

2

x2

x1n

nx2

1≤j i≤n 1

x x 0，

i

j

xn 1

2nxn xn 1 1

因此a0 a1 a2 an 0．这个矛盾表明f x 至多有n个互异根．

例2 设a1,a2, ,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2, ,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L x ：

L x bi

i 1

j i

n

x a

行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式