数学建模实验报告插值拟合

数学建模插值与拟合实验题

1. 处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形

（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2015年间的性别比。

（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；

（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2015年间的生育率。

（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之

比,Karmeshu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logistic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。

2. 处理2011年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题

（1

MATLAB实验报告

题目： 学生姓名： 学院： 专业班级： 学号：

第二次实验报告

年月

****班**号 ***

MATLAB第二次实验报告

————插值与拟合

插值即在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。

一、插值

<1>拉格朗日插值（课上例子）

m=101;

x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2);z=0*x;

plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x^2)'),pause n=3;

x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);

y1=fLagrange(x0,y0,x);

holdon,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause, hold off n=5;

x0=-5:10/(n-1):5; y0=1.

MATLAB实验报告

题目： 学生姓名： 学院： 专业班级： 学号：

第二次实验报告

年月

****班**号 ***

MATLAB第二次实验报告

————插值与拟合

插值即在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。

一、插值

<1>拉格朗日插值（课上例子）

m=101;

x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2);z=0*x;

plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x^2)'),pause n=3;

x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);

y1=fLagrange(x0,y0,x);

holdon,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause, hold off n=5;

x0=-5:10/(n-1):5; y0=1.

. . . . .

插值和拟合

实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。

实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。

实验内容：

一、插值

1．插值的基本思想

·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；

·构造一个相对简单的函数y=P(x)；

·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；

·用P (x)作为函数f ( x )的近似。

2．用MA TLAB作一维插值计算

yi=interp1(x，y，xi，'method')

注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

练习1：机床加工问题

x 0 3 5 7 9 11 12

插值与拟合方法

数学建模社团活动

主讲人：赵振刚

第一章 插值与拟合方法一般插值方法； 样条函数与样条插值方法； 磨光法与B样条函数； 最小二乘拟合方法； 应用案例分析与应用练习.

2

2013年11月24日

一、一般插值方法1.一般问题的提出实际中不知道函数 y f (x) 的具体表达式， 由实验 测量对于 x xi 有值 y yi (i 0,1,2, , n) ,寻求另一 函数 (x) 使满足： ( x i ) yi f ( xi ) 。此问题称为插值问题， 并称 (x) 为 f (x) 的插值 函数； x 0 , x1 , x2 , , xn 称为插值节点；

( x i ) yi (i 0,1,2, , n) 称 为 插 值 条 件 ， 即 ( x i ) yi f ( xi ) ,且 ( x) f ( x) 。3 2013年11月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式设函数 y f (x) 在 n 1 个相异点 x 0 , x1 , x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1 , y 2 , , yn ,要求一个次数

《数值分析》课程实验一：插值与拟合

一、实验目的

1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；

2. 编写MATLAB程序实现Lagrange插值和Newton插值，验证Runge现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB程序实现最小二乘多项式曲线拟合。

二、实验内容

1. 用Lagrange插值和Newton插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB程序绘制出三次插值公式的图形。

2. 设

f(x)?1,x?[?5,5] 1?x2如果用等距节点xi = -5 + 10i/n (i = 0, 1, 2, …, n)上的Lagrange插值多项式Ln(x)去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB程序绘制出L5(x)和L10(x)的图像。

3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 t (min) y (×10-5) 0 0 5 1.27 10 2.16 15 2.86 20 3.44 25 3.87 30 4.15 35 4.37

2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据

年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3 929 000 5 308 000 7 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 000 23 192 000 31 443 000 38 558 000 50 156 000 62 948 000 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 75 995 000 91 972 000 105 711 000 122 755 000 131 669 000 150 697 000 179 323 000 203 212 000 226 505 000 248 710 000 281 416 000

求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。

year=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1

曲线拟合

某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下xi表示轿车的使用年数，

yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

xi yi 1 2 3 4 5 6 538 7 484 8 290 9 226 10 204 2615 1943 1494 1087 765 （1）画粗糙曲线 运行程序

x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; plot(x1,y1,'o') 运行结果

假设曲线方程y=a*e?kx方程两边取对数lny=lna-kx

令t=lny,m=-k,n=lna,拟和曲线t=n+mx 执行以下程序拟和求得参数 x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; t=log(y1); aa=polyfit(x1,t,1) 运行结果 aa =

-0.2969 8.1591 即得y1=e^(-0.2969*x+8.1591) 运行程序得到精确曲线 x

第4章 插值与拟合方法

1 问题的描述与基本概念

已知[a,b]上实函数f(x)在n?1个互异点xi?[a,b](i?0,1,???,n)处的函数值

f(xi)(i?0,1,???,n)，要求估算f(x)在[a,b]中某

点x的值.

65

1）插值问题的描述

找近似函数P (x)，满足

P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n)

? P (x) 称为f (x)的一个插值函数; ? f (x) 称为被插函数;点xi为插值节点; ? P(xi)?f(xi)(i?0,1,???,n)称为插值条件; ? R(x)?f?x??P(x)称为插值余项。

66

当插值函数P(x)是多项式时称为多项式插值. 为获得唯一的插值多项式，设

P(x)??akxk.k?0n

用Hn表示次数不超过n的多项式集合.

67

定理1 Hn中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.

证明 仅证唯一性.设P(x)?Hn,Q(x)?Hn,且都满足插值条件，于是有

P(xi)?Q?xi??f(xi)(i?0,1,???,n).令

R?x??P(x)?Q(x),

那么R(x)?Hn.因为

所以R?x?有

实 验 2 插 值 与 拟 合

系 班 姓名 学号

【实验目的】

1、 掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，

对三种插值结果进行初步分析。

2、 掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。

3、 通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 【实验内容】

预备：编制计算拉格朗日插值的M文件：

以下是拉格朗日插值的名为y_lagrl的M文件：

function y=y_lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end

s=p*y0(k)+s; end

y(i)=s; end

第1题（d）

2

选择函数y=exp(-x) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分