抛物线的三角形面积公式推导

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰

（2）∵抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线

抛物线内的三角形问题

近年来中考数学试题中，经常出现以函数、几何知识为背景的探究性问题，特别是有关抛物线内的三角形问题，此类问题综合性强，往往涉及一次函数、二次函数、一元二次方程、三角形、相似三角形等多方面的知识，既考查学生基本运算的能力，又考查学生对函数、方程、数形结合、分类和待定系数法等思想方法的掌握情况，具有很好的选拔功能．本文举例分析如下：

例1 （2005·孝感市）如图1，开口向下的抛物线C：y=a（x-2）（x+3），与x?轴

交于A、B两点，y有最大值25

8

．

（1）求实数a的值；

（2）在抛物线C上是否存在点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出P点坐标；?若不存在，说明理由．

分析本题是一道中考压轴题，综合性较强．第（1）?问由抛物线顶点坐标直接求得a的值．第（2）问由△APB为直角三角形及相似知识可得△APB内的线段关系，再由方程思想求解．

解（1）∵当x=-1

2

时取最大值，

∴25

8

=a（-

5

2

）·（

5

2

）．

∴a=-1

2

．

（2）由图1可知：A、B处不可能为直角，只可能∠APB=90°，且点P不能在x轴及x轴下方．

设存在满足条件的点P（x0，y0），（y0>0）．

作PM⊥AB于M，而A（-3，0），B（2，0），

则AM=3+x0，BM=

详解三角形面积公式的由来和演变

第25卷　第5期

Vol.25No.5昭通师范高等专科学校学报

JournalofZhaotongTeacherπsCollege2003年10月

Oct.2003

三角形面积公式的由来和演变

饶克勇

(昭通师范高等专科学校数学系,　云南　昭通　657000)

[摘　要]　系统揭示三角形面积公式的由来、演变及应用.[关键词]　三角形;　面积;　公式

[中图分类号]O123.6　　　[文献标识码]A2)0520021206

TriaπOrignandEvolution

RAOKe2yong

(DentofMathematics,ZhaotongTeacherπsCollege,Zhaotong657000,China)

Abstract:Bringtolighttriangularareaformulasπorign,evolutionandusesystematically.Keywords:triangle;area;formula

三角形是平面几何中最简单的基本图形,在后继学习及日常生活中有广泛的应用.中小学生对于三角形面积公式是熟悉的,并能用公式计算三角形的面积;但对于日常生活中有关面积的测算却时常会感到束手无策.其原因之一是对三角

中考数学冲刺教案一

—抛物线专题精炼（压轴题）

一、知识精炼

题型：1、平行四边形与抛物线2、梯形与抛物线3、等腰三角形、菱形与抛物线

4、直角三角形与抛物线5、相似三角形与抛物线6、抛物线中的翻折问题

目标：1、熟练求解抛物线表达式

基本方法：将已知点逐个代入表达式，求解方程组。一般会有（0，y）,(x,0)特殊点。

基本公式：顶点坐标（

）

2、熟练求解面积S，长度L。主要是特殊三角形（直角、等腰等等）、平行四边形、梯形。

基本方法：结合已求得的抛物线的表达式（一般为纵坐标y）以及几何

图形的面积公式。

3、猜想某四边形的形状，包括菱形、正方形、等腰三角形等等。 基本方法： 菱形的判定：对角线相互垂直平分的平行四边形、临边相等的平行四边

形、四条边都相等的四边形。

正方形的判定：有一个顶角为直角的菱形、对角线相等的菱形。 4、抛物线翻折(只作参考)

基本方法：抓住抛物线线上某几个特征点即可。 若关于X轴对称，x坐标不变，y取相反数。 若关于Y轴对称，y坐标不变，x取相反数。 若关于y=x对称就是由点（x,y），翻折到点（y,x）,即横坐标与纵坐标

互换。

二、本次教学任务

主要围绕抛物线与三角形结合的问题进行教课。

1、完成第1、2两题，这两题与

为了方便大家学习数学,本文介绍了目前最实用的10种求各种条件下的三角形面积公式,以飨读者。

最全面的三角形面积公式

河北邯郸 贾敬堂

一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a, 高为h，则

三角形面积S= 底 高 2

ah2

B

实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。

②已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积S

lr2

L4R

③已知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积S

uurruuurr④已知三角形AOB中，向量O

A a，OB b，则三角形面积S

此公式也适用于空间三角形求面积。

⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC的三顶点坐标分别为，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

C(x3,y3),

为了方便大家学习数学,本文介绍了目前最实用的10种求各种条件下的三角形面积公式,以飨读者。

则三角形面积S

12

x1x2x3

y1y2y3

1

1的绝对值 1

12

x1y2 x2y3 x3y1 x1y3 x2y1 x3y2。

特别地，当C(0,0)，或经过平移后C(0,0)，此时，三角形面积S

121

x1y2 x2y1。 (a b c)，则

⑥海伦（Heran）公式，已知

维普资讯

20 04年第 1期 O

中学数学月刊

7 1

化简得正一Yo——一XO

硼，正。 故点，一

硼所以一硼一薯一 ( 2+ Y ) -一 Y ) - y 1( 2 y 1 2o y,

—— W .

瓦『二干层 a O UkA k M

一一 W.

性质 7 A是黄金椭圆不与坐标轴平 B

行的任意非直径弦，是 AB的中点， 那么k B o一— W. A kM—

性质 8在黄金椭圆中， 内切圆面积内 与外切圆面积 S外之比为 W,焦点圆面积 S 焦与外切圆面积 S外之比为 W . 证明 S ￣_一

证明设 A的坐标为 (,, x, Y)B( - ) ( - ) y, y, 2。

f+婴一1 ( , 1 )“

rz t b一 一

f+一， ( 1 2 )( ) ( ) W( 2一 1+ (2一Yz 2一 1得 ) - a y )一 0.

=

一

S

( )叫掣 ,一外 7 c n一’筹一 J~ a \硼 z一 一

一

抛物线内接三角形三边的斜率关系及其应用朱引弟胡福林 (苏省昆山市震川高级中学 250 ) 江 130定理 1设 P, Pz ), I正+ .

D P,P的率 P, 斜 0尸2一‘

△点图 I坐在\ 0边1 标() P如线所，壶

《三角形面积的计算》说课稿

亚东二小韩兴华

一、教学内容

1.教材分析

今天我说课的内容是选自全日制聋校实验教材数学第十一册“三角形面积的计算”第一课时：教学三角形面积的计算公式。它是在学生充分认识了三角形的特征及掌握了长方形、正方形与平行四边形面积计算的基础上进行的, 若想使学生理解掌握好三角形面积公式，必须以平行四边形的面积计算以及三角形的底和高的相关知识为基础，运用迁移和同化理论，使三角形面积的计算公式这一新知识纳入到学生原有知识体系中。三角形面积计算同时也是梯形面积公式推导的前提和基础。在实际生活中，三角形面积计算也有着广泛的应用，因此要求学生必须认真学好这一内容。

2.教学目标

现代数学教学要求实现以人的发展为本的教学目标，教学应重视学生对数学学习的情感态度，对数学的认识思考及运用数学知识解决问题等方面目标的落实，强调学生在数学活动中的体验、感受、经历与探索，注意培养学生的创新意识与实践能力，根据新的教学理念与教材的编排特点，结合聋生已有的认知水平，以新的课程标准为指导，我制订了以下教学目标。

（1）通过操作让学生主动探索三角形面积计算公式，经历三角形面积公式的探索过程，进一步感受“转化”的数学思想。

（2）使学生理解三角形面积计算公式，能正确地计

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

宝 鸡 高 新 第 一 小 学

数 学 课 导 学 案

年级 五年级 科 目 共2课时，第1课时 预设上课时间 学习目标 重点 难点 数学 课题 上课教师 三角形的面积 备课时间 主备教师 王亚兰 8月26 日 本期总计第 课时 月 日（星期 ） 1.在自主探索中经历推导三角形面积计算公式的过程。 2.能运用公式直接计算三角形的面积，解决生活中的简单问题。 在自主探索中经历推导三角形面积计算公式的过程。 能运用面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。 教学时间 环节 自 主 探 究 一、激趣导入 用学生的红领巾引出三角形面积，让学生看课题提出自己想知道的问题，激发学习情趣。 二、探究新知： （一）学生自学活动单问题导读部分，完1.自学课本56页后，动手剪两个完全相同的三角形，并把它们拼成一个平行四边形，观察拼成的平行四边形，回答下面的问题: 平行四边形的底是原三角形的 平行四边形的高是原三角形的 平行四边形的面积是 因为平行四边形的面积 = 底 × 高，所以三角形的面积= 如果用S表示三角形

含有小数的三角形面积计算

1．填空

（1）270平方厘米＝（ ）平方分米 1.4公顷＝（ ）平方米

（2）一个三角形的底是4分米，高是30厘米，面积是（ ）平方分米。

（3）一个三角形的高是7分米，底是8分米，和它等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方分米。

（4）一个三角形的面积是4.8平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（ ）

（5）一个三角形的面积比它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，平行四边形的面积是（ ）平方分米，三角形的面积是（ ）平方分米。

（6）一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是10米，那么平行四边形的高是（ ）米；如果平行四边形的高是10米，那么三角形的高是（ ）米。

（7）9800平方米=（ ）公顷 3.45公顷=（ ）公顷（ ）平方米

2．判断题。

（1）两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（ ）

（2）等底等高的两个三角形，面积一定相等。（ ）

（3）三角形面积等于平行四边形面积的一半。（ ）

（4）三角形的底越长，面积就越大。（ ）

（5）三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍。（ ）

3

4 4.8分米

厘米