矩阵求秩有几种方法

矩阵求逆的几种方法

关于矩阵求逆的几种方法

庄战友

（通辽实验中学，内蒙古通辽

摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍了矩阵求逆的几种方法。

关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式

028000）

-1

阶矩阵A为可逆矩阵时，A=

*1*

A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。|A|

a1%%%a2a1%%%a2

例2：设A=，若|A|==a1a4-a2a3≠0，则存在A

a3%%%a4a3%%%a4

1.定义法

定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

%2%%%2%%3

例1：求矩阵A=%1%-1%%0的逆矩阵。

-1%%2%%1

-1

，且

%%1%a%%%-aA=%%|A|-a%%%%a

-1

4

21

。

3

%%

-1

解：因为|A|≠0，所以A存在。

用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。

3.初等变换法

设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为In，则子块In将变为A，即初等行变换

同样也可以作2n×n矩阵变换，即

-1

x11%%x12%%x1333-1x21%%x22%%x233设A=3，由定义知AA=I，33x31%%x32%%x3333

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

1.二元函数极限概念分析

定义1 设函数f在D?R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?，总存在某正数?,使得P?U0(PD时，都有 0;?) f(P)?A??,

则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记limf(P)?A.

P?P0P?D上述极限又称为二重极限.

2．二元函数极限的求法

2.1 利用二元函数的连续性

命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则

limf(x,y)?f(x0,y0).

(x,y)?(x0,y0)2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解： 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续，所以

limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.

例2 求极限lim1．

?x,y???1,1?2x2?y2 解： 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即

11=．

?x,y???1,1?2x2?y23lim1 / 15

2.2 利用恒等变形法

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3

解析几何中求参数取值范围的方法

http://www.TL100.com 作者：佚名 文章来源：天利淘题 更新时间：2010/3/20 8:56:02 分享

近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 ,

数学精品班培训试题 函数值域的几种求法

一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 1.函数y?kx?b(k?0,x?R)的值域为R；

2.二次函数y?ax2?bx?c(a?0,x?R) 当a?0时值域是[4ac?b，+?)，

4a2当a?0时值域是(??,4ac?b]；

24a3.反比例函数y?k(k?0,x?0)的值域为{y|y?0}；

x4.指数函数y?ax(a?0,且a?1,x?R)的值域为R?； 5.对数函数y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域为R；

?6.函数y?sinx, y?cosx (x?R)的值域为[-1，1]；函数y?tanx,x?k?? ,

2 y?cot x (x?k?,k?Z)的值域为R；

二、求值域的方法

1. 分析观察法求值域 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

1例1：求函数y?的值域。

2?x2解

2. 反函数法求值域 对于形如y?cx?d(a?0)的值域，用函数和它的反函数定义域ax?b和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例2 ：求函数y?解

{y|y?R,且y?1}。

3x?1的值域。

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英语单词学习有哪几种方法

单词是构成语言的三大要素之一，，是语言的“建筑材料”。在英语学习过程中，单词学习的任务是最繁重的。下面就来介绍英语单词学习的几种有效方法。

一、卡片记忆法

为了充分利用组块原理扩大短时记忆容量，就是让学生自制词汇卡片，写上单词的词形、词性、词义、音标、搭配等，看一面，尝试着记忆另一面。随身携带，随时随地进行词汇记忆。

二、重复记忆法

重复能深化记忆的“痕迹”。这种重复不是简单的，机械的往复，而是有适当的间隔，休息，根据艾宾浩斯的遗忘曲线，人的遗忘从识记后便开始，先快后慢。因此，复习的时间间隔就应是先短后长。这种方法适合于时间比较充沛，可以专门用一段时间来学英语的人。要有毅力的人才能坚持背下去。

三、比较记忆法

比较是人们认识客观世界的重要手段，有比较才有鉴别，不经过比较就很难弄清事物的相互关系。这里介绍的是对相似而又不同的单词进行对比分析，弄清它们的异同以进行记忆的方法。

四、分类记忆法

分类的方法因人而异，因爱好而异，灵活多样。按其性质，用途等来分类，使之条理化、系统化，就容易巩固，记忆，如按颜色、学习用品、交通工具、食品、生活用品等种类归纳，还可以按科目名称、时间、

求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a23??1?1?(n?1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。

22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

an?1an3?n?，说明数列n?1222aan3{n}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

凡不做种用的公羔都应去势。去势的羊性情温顺,便于管理,生长速度较快,肉膻味小,且细嫩。羊去势应选择晴朗无风的早晨进行。

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疫病防治个星期，阴囊连同睾丸便自然脱落。结扎后要注检查阴囊，防止结扎部位感染。33钧骟法 .

羊去势的几种方法刘佰慧莫胜军马青飞 (黑龙江生物科技职业学院 1 0 2 5 0 5)爿术 (爿爿爿爿爿爿爿半 ( ( ( ( ( ( (爿半 (爿半 (半卑爿爿爿爿爿爿术 ( ( ( ( ( (爿爿丰 ( (

此法适用于羔羊。操作方法是由一人将公羊倒提保定，术者站立在羊的一侧，用手抓住此侧睾丸，使精索紧张，另手食指于阴囊颈部钩住左侧精索较细部，然后向着腹股沟方向猛然一拉，即可将精索钩一

凡不做种用的公羔都应去势。去势的羊性情温顺，便于管理，生长速度较快，肉腈味小，且细嫩。羊去势应选择晴朗无风的早晨进行。

断。用同样方法，钩断另一侧精索。术后令羊站立，触摸阴囊基部，便可摸到被钩断的精索断端，否则需再次钩拉。钩拉精索用力过小，则拉不断精索；用力过大，有可能会撕破腹股沟管，造成肠管脱出。34捶骟法 .

1去势前检查和准备去势前仔细观察羊群，对个别精神不振，粪尿不正常的羊，暂缓去势，等恢复正常后再进行。 去势场地要进行清扫、消毒。准备好

求极限的13种方法（简叙）

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极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

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22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1