直线的参数方程应用题

直线的参数方程及应用

一、直线的参数方程

1.定义：若 为直线l的倾斜角，则称e (cos ,sin )为直线l的(一个)方向向量.

2.求证：若P,Q为直线l上任意两点，e (cos ,sin )为l的方向向量,则有PQ//e.

证明：

3.设直线l过点M0(x0,y0)的倾斜角为 ，求它的一个参数方程.

归纳小结

二、弦长公式、线段中点参数值

证明：

例1 已知直线l:x y 1 0与抛物线y x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M( 1,2)到A,B两点的距离之积.

x2y2

例2 经过点M(2,1)作直线l，交椭圆 1于A,B两点.如果点M恰好为线段AB的中点，

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求直线l的方程.

练习

1.设直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为

3. （1）求直线l的参数方程；

（2）求直线l和直线x y 0的交点到点M0的距离； （3）求直线l和圆x2 y2 16的两个交点到点M0的距离的和与积.

2.已知经过点P(2,0)，斜率为43的直线l和抛物线y2 2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M.求点M的坐标.

3.经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2 y2 1于A,B两点，如果点M为线段AB的中点，求直线AB的方程.

4.经过抛物线y2 2px(p 0)外的

2.1 直线的参数方程（第一课时）教学设计【附教学反思】

九江三中 吴丛新

教学目标：

通过探究直线的参数方程的过程，使学生体会参数t的含义，并会利用参数t的几何意义解决有关弦长的问题，加深对参数方程的理解。 教学重点：直线参数方程的推导，参数t的几何意义的理解。 教学难点：理解和书写与直线正方向同向的单位向量，及参数t的几何意义的应用。

教学方法：问题教学，启发式教学。 教学用具：多媒体辅助教学。 教学环节： 一：复习引入

复习前一节曲线与参数方程中参数方程的概念，特别强调引入参数的意义。复习直线的普通方程的形式，特别强调点斜式。

【设计意图】：复习参数的意义为即将建立直线的参数方程中引入参数t做铺垫，复习点斜式为后面消参做准备。 二：直线的参数方程的推导

采用两种方法推导直线的参数方程，以加深对直线参数方程参数t的几何意义的理解。

（一） 利用直角三角形知识推导

【问题设置】直线l的正方向是什么？有向线段PM的数量是什么？如何利用直角三角形的知识求出动点M的坐标？

【设计意图】直线的正方向和有向线段的数量是两个全新的概念，北师大版教材正是基于这两个概念才能给出直线参数方程中参数t的几何意义，对t的几何意义的理解是本节的难点，这里需做好铺

《直线的参数方程》教学反思

我所教班级是文科班，学生的总体数学水平处于我校的中等水平，学生们对于数学这个学科本身的兴趣有限，对前面学过的有关直线和圆中的基本知识点掌握的一般。针对以上实际情况，我采用如下方案对参数方程进行了讲解。

一、讲解情况

第一，讲解学习本章的重要意义。通过本章节的教学使学生明白现实世界的问题是多维度的、多种多样的，仅仅用一种坐标系，一种方程来研究是很难解决现实世界中的复杂的问题的。在这一点上，参数方程有其自身的优越性，学习参数方程有其必要性。

第二，讲解参数方程的基本原理和基本知识。通过学习参数方程的基本概念、基本原理、基本方法，以及方程之间、坐标之间的互化，使学生明白坐标系及各种方程的表示方法是可以视实际需要，主观能动地加以选择的。

第三，讲解典型例题和解题方法。通过例题的讲解让学生们进一步巩固基础知识，同时还能熟练解题方法，为进一步学习数学和其他自然科学知识打好基础。

第四，布置课后练习。既可以巩固学过的知识，又可以达到温故而知新的效果。

二、成功之处

第一，突出教学内容的本质，注重学以致用。课堂不应该是 “一言堂”，

1

学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，

《直线的参数方程》教学设计

紫云民族高级中学高二数学组

教学目标：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研

的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标 之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题：

1.共线向量的条件是什么？

?b//a(a?0)?b??a

?????2.直线方程的有几种形式？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为

?????????2? 的直线

l的

普通方程是__

导入新课1.在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么呢？y 由直线的普通方程： y0 tan(x x0 )可知确定直线的几何条件是：

直线上的一个定点和该直线的倾斜角 根据直线的这个几何条件，想想该选择 怎样的参数去确定直线的参数方程呢？

教学目标知识与能力1.了解直线的参数方程的概念 2.培养同学们分析曲线的能力

过程与方法1.掌握用参数方程的思想方法来认识问题.

情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.

教学重难点重点1.根据问题的条件引进适当的参数， 写出直线的参数方程. 2.分析直线，圆和圆锥曲线的几何性质.

难点1.根据问题的条件引进适当的参数. 2.选择适当的参数写出直线的参数方程. 3.体会直线的参数方程的意义.

y 设直线的普通方程： y0 tan(x x0 ) sin ( x x0 ) 把它变成 y y0 cos 整理得 y y0 x x0 sin cos 令 y y x x0 0 t sin cos 即直线的参数方程为：

x x0 t cos ( 为参数) t y y0

第06课时

2、2、3 直线的参数方程

学习目标

1．了解直线参数方程的条件及参数的意义；

2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。

2.方程中参数的几何意义是什么？

◆应用示例

例1．已知直线l:x?y?1?0与抛物线y?x2交于A、B两点，求线段AB的长和点M(?1,2)到A ，B两点的距离之积。（教材P36例1） 解：

学习过程

一、学前准备

复习：

1、若由a与b共线，则存在实数?，使得 ， 2、设e为a方向上的 ，则a=︱a︱e； 3、经过点M(x0,y0)，倾斜角为?(??????????2)的直线

的普通方程为 。 二、新课导学

◆探究新知（预习教材P35～P39，找出疑惑之处） 1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M的坐标

x,y与点M0的坐标x0,y0和倾斜角? 联系起来

呢？由于倾斜角可以与方向联系，M与M0可以用距离或线段M0M数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。

如图，在直线上任取一点M(x,y)，则

x2y2??1例2．经过点M?

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

分数方程与分数应用题

类型一：两边可以直接计算 213151x?x?2 x?? x?6?2 537663

随题练习 2132112x?x? ??x 5x?20? 7443223

类型二：两边不可以直接计算

11321x??2 1?x? x?3?6

63732

随题练习 21121112x??x ?x? 3x?? 34332323

典型例题

例：1、某乡去年原计划种小麦200公顷，实际种小麦250公顷。 （1）实际种小麦的公顷数是原计划的几分之几？ （2）实际种小麦的公顷数比原计划的多几分之几？

同类型题

8比5多几分之几？5比8少几分之几？

cc? 类型②求一个数a的是多少？ → a×

bb典型例题

1 例： 一块长方形菜地，长18米，宽比长短，这块菜地的面积是多少平方

6米？

同类型题

1 六（1）班有女生20人，男生比女生多，六（1）

列方程解应用题

练习1 从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点．已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？

练习2 甲、乙两车从A、B两地于上午8点钟同时出发，相向而行，已知甲的速度比乙快2千米/时，到上午10点钟，两车还相距36千米，又过两个小时后两车相距36千米．求A、B两地的距离与两车的速度．

练习3 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h的速度前进．突然，1号队员以45km/h的速度独自前行，行进10km/h后掉转车头，仍以45km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，1号队员从离队开始到与队员从新会合，经过了多长时间？

练习4 甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15秒，然后在乙身旁开过，用了17秒，已知两人的步行速度都是3.6千米/时，这列火车有多长？

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练习5 甲、乙二人绕学校操场和环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒跑一圈，若俩人同时同向