三角函数的应用洋葱数学

解直角三角形的应用（一）

文化二中孙雪红

一、教材分析：

解直角三角形的应用是鲁教版九年级上册第一章第五节的内容，本节课的教学是第一课时，通过本节的学习，应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决一些实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力，它既是前面所学知识的应用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识，它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中应有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

二、学情分析：

1、本节是学生已经学习了解直角三角形的有关知识的基础上进行的，通过本节的学习，可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用。本节课的知识点不是很多，但是是数学建模思想和转化思想的体现，学生不易掌握，学生只有通过积极参与课堂，才能提高分析问题和解决问题的能力，并且在意志力、自信心和理性精神等方面得到了良好的发展。

2．教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者和帮助者，应依据教材特点创设问题情境，从学生已有的知识背景和活动经验出发，帮助学生取得成功。

三、教学目标：

1、知识与技能目标：会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题；完成简单的实习作业。

2、过程与方法目标：经历利用三角函数知识解决实际问

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

辅助角公式应用20170313

基础知识：化asin? 解: asin?+bcos?=?bcos?为一个角的一个三角函数的形式. a2?b2(aa?b222sin?+ba?b22cos?),

① 令aa?b22=cos?,

ba?b2=sin?,

② 顺序：要使正弦在前，余弦在后；系数：分析好a、b，正弦系数为a、余弦系数为b。 例题：例１、试将以下各式化为Asin(???)?A?0?的形式. （1）31sin??cos?（2）sin??cos?（3）2sin??6cos? （4）3sin??4cos? 22

例2、试将以下各式化为Asin(???)（A?0,??[??,?)）的形式. （1）sin??cos? （2）cos??sin? （3）?3sin??cos? 例3、若sin(x?50?)?cos(x?20?)?3，且0??x?360?，求角x的值。 例4、若3sin(x?4、课堂练习

??????(1)、3sin?????3cos???? =________________（化为Asin(???)?A?0?的形式）

66?????12)?cos(x??12)?2?，且 ??x?0，求sinx?cosx的值。

23(2)

教学步骤及内容 【考点精讲】 1．“五点法”作图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?(0,0)，?2，1?，(π，0)，?2，－1?，(2π，0)． ????(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π??3π?，0??(0,1)，2，(π，－1)，?2，0?，(2π，1)． ????2．正弦、余弦和正切函数的图象和性质(下表格中的k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 对称中心 对称轴 R (kπ，0) πx＝kπ＋2 R π???kπ＋2，0? ??x＝kπ ?π??x|x≠kπ＋? 2?? ?kπ??2，0? ??无 单调性 π3π???2kπ＋2，2kπ ＋2?为减 ??π??2kπ－2，2kπ?奇 π?＋2?为增； ?[2kπ－π，2kπ]为增； [2kπ，2kπ＋π]为减 π??kπ－2，kπ＋?增 π?为2??奇偶性 3.函数的周期性 偶 奇 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周

上海市上南中学单元教学设计

上南中学单元教学设计

主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

学生姓名 授课日期

广州卓越一对一初中数学教研部

编著

课题 教学目标 教学重点 教学难点

锐角三角函数的实际应用1、 进一步掌握锐角三角函数的定义； 2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题

第一部分：知识点回顾1.边与边关系：a2+b2=c2 2.角与角关系：∠A+∠B=90° a b a b 3.边与角关系，sinA= ,cosA= ,tanA= ,cota= c c b a 4.仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰 角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1 就是仰角，∠2 就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比), AC 读作 i,即 i= ,坡度通常用 1:m 的形式(注意:坡度一定要写出 1:几的形 BC 式),例如上图的 1:2 的形式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是 i=tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

第二部分：自我评测知识点 特殊三角函数的值 坡度计算 三角函数的实际应用 掌握情况 非常好 一般 有

1.ABS

用途：返回某一参数的绝对值。 语法：ABS(number)

参数：number是需要计算其绝对值的一个实数。 实例：如果A1=-16，则公式“=ABS(A1)”返回16。 2.ACOS

用途：返回以弧度表示的参数的反余弦值，范围是0~π。 语法：ACOS(number)

参数：number是某一角度的余弦值，大小在-1～1之间。

实例：如果A1=0.5，则公式“=ACOS(A1)”返回1.047197551(即π/3弧度，也就是600);而公式“=ACOS(-0.5)*180/PI()”返回120°。 3.ACOSH

用途：返回参数的反双曲余弦值。 语法：ACOSH(number)

参数：number必须大于或等于1。

实例：公式“=ACOSH(1)”的计算结果等于0;“=ACOSH(10)”的计算结果等于2.993223。 4.ASIN

用途：返回参数的反正弦值。 语法：ASIN(number)

参数：Number为某一角度的正弦值，其大小介于-1～1之间。

实例：如果A1=-0.5，则公式“=ASIN(A1)”返回-0.5236(-π/6弧度);而公

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主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图