离散余弦变换原理

第32卷 第5期2009年5月计 算 机 学 报CH INESE JOURNA L OF COM PU TERS Vo l.32N o.5M ay 2009

收稿日期:2006-08-23;最终修改稿收到日期:2009-04-08.本课题得到国家/八六三0高技术研究发展计划项目基金(2003AA144080)、国家自然科学基金(60772155)、北京市自然科学基金(4082029)和中国博士后科学基金(20080440553)资助.肖 俊,男,1981年生,博士,讲师,主要研究方向为图像处理与数字水印技术.E -m ail:xiaojun@fd755612182e453610661ed9ad51f01dc28157d3.王 颖,女,1969年生,博士,教授,主要研究领域为数字通信、图像处理及信息安全.基于多级离散余弦变换的鲁棒数字水印算法

肖 俊 王 颖

(中国科学院研究生院计算与通信工程学院 北京 100049)

摘 要 将多级离散小波变换的/多级0思想引入到离散余弦变换中,并对多级离散余弦变换的特性进行了分析,在此基础上提出了一种基于多级离散余弦变换的数字水印算法,该算法从多级离散余弦变换系数中选择适当的位置嵌入水印信息.实验结果表明

基于离散余弦变换与独立方量分析的音频数字水印

提出了一种基于独立分量分析(Independent Component Analysis) 的音频数字水印方法。嵌入时，对原始音频文件进行离散余弦变换，在变换得到的音 频文件中利用随机混合嵌入已进行压缩编码的水印图像后进行离散余弦逆变换。提取 时，对音频文件进行离散余弦变换，独立分量分析方法进行水印检测。实验结果表明 这种方法的强鲁棒性和可行性。 关键词 数字水印，独立分量分析，离散余弦变换

1 引言

公共网络使用率的提高加速了网上传播者的出现，这些传播者以快速、廉价 的方式在网络上传播他们的作品。但是，以数字形式存储的文件是很脆弱的，因为恶 意的个人或集体可以很容易而且廉价无损失地拷贝和传播数字媒体；并且计算机的良 好配置使得合成数字媒体很容易，所以非法使用者在未经授权的情况下把其他数字信 号的一部分融入自己的作品中是有可能的[1]。在这种形势下，数字水印 应运而生。数字水印技术是把版权信息嵌入到数字音频、图像或视频信号中，在数字 信号受到攻击后，所有者仍然能提取出水印以证明所有权。因此，数字水印被认为是 一种有效解决媒体所有权的方法。

迄今，对音频数字水印已有研究：把伪随

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

实验二 离散傅里叶变换DFT

一、实验目的

(1)学习编制离散傅里叶变换程序。

(2)学会用计算机模拟时间抽样和重构信号。 (3)用离散傅里叶变换程序分析时间抽样信号。 (4)进行N＝64点的DFT分析

二、实验内容

(1)编制计算离散博里叶变换程序。

(2)根据实序列离散博里叶变换的对称性，初步判定程序的正确性。

(3)选定某时间信号进行N＝64点离散博里叶变换，详细记录计算时间和分析结果

(4)分析正弦抽样序列，详细记录结果。

三、实验说明

(1)根据离散傅里叶变换公式

kn X(k)??x(n)WNn?0N?1及其反变换公式

?kn x(n)??X(k)WNn?0N?1编制相应的计算程序。

计算离散傅里叶变换的参考程序如下：

function [xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1];

WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk; xk=xn*WNnk;

例如计算N=12点δ(n)的离散傅里叶变换

>>x=[1,zeros(1,11)]

x =1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >>N=12 N=12

>>

数字信号处理实验

实验二离散时间傅里叶变换

一、实验目的

理解数值计算在离散时间傅里叶变换（DTFT）中的作用。

二、实验原理

经由正、逆离散时间傅里叶变换表达的信号傅里叶表示式是信号分析的一个关键部分。下面方程分别是分析方程与综合方程：

X(e)

j

n

x[n]e

j n

(3.9)

x[n]

12

X(ej )ej nd

(3.10)

类似的，当LTI系统用于滤波的时候，作为冲激响应离散时间傅里叶变换的频率响应，提供了LTI系统简洁的描述。离散时间傅里叶变换X(e)是 的周期复值函数，周期总是

j

2 ，并且基周期通常选在区间[ , )上。

应用MATLAB时需注意： 1、DTFT的定义对无限长信号有效，但当能从变换定义式推导出解析式并只是计算它时，则可以使用MATLAB计算；

2、MATLAB擅长在有线网格点上计算DTFT，通常在[ , )上选择一组均匀隔开的频率，或者对共轭对称变换选择[0, ]区间，这样(3.9)式变为

j k

j2 k/N

X(e) X(e

) x[n]e j(2 k/N)n,k 0,1, N 1

n 0

L 1

(3.11)

DTFT的周期性意味着在 0区间上的数值是对那些k N/2的数值。因为上式是在有限数量的频率点 k 2

离散傅里叶变换的物理含义

(2013-02-07 08:48:12) 转载标签：

离散傅里叶变换的物理

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不知道为什么，我们的教科书总是不把读者最希望了解的东西告诉他们。这里可能有专业与非专业的区别。浸淫多年的专家认为必须让读者理解的东西其实读者并不关心，读者想要知道的简单答案课本上就是不说。

以离散傅里叶变换为例，许多书都会从用一系列正弦波逼近方波开始，好的，这我们都好理解，但是从此以后大堆的公式就开始上场了，以及卷积呀，皱褶呀，截断呀，延拓呀，中间经历了傅里叶变换，拉普拉斯变换，以及Z变换，时间域从连续到离散，频域从离散到连续，最终在离散傅里叶变换里时域和频域都离散了，这时频域里的幅值与相位和我们的原始信号有何联系，物理含义是什么，现在没人说了。

其实作为一个普通的，数学不怎么样的工程师，真的不关心离散傅里叶变换背后的数学原理，但是我们现在的教科书往往是告诉了他，这确实是极有用的工具，却不告诉他如何简单有效地使用它。

我在网上搜索答案，发现许多作答的人其实自己也不了解。直到找到一篇说得比较明白，但是在我读它的时候，早把网页关了，也不知应向谁致谢和致敬。下面举的例子，就基于那篇文章，有的部分是原文，在此基础上改写。

实验一 离散时间系统的时域分析

一、实验目的

１. 运用MATLAB仿真一些简单的离散时间系统，并研究它们的时域特性。

２. 运用MATLAB中的卷积运算计算系统的输出序列，加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理

离散时间系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：

当输入信号为冲激信号时，系统的输出记为系统单位冲激响应

N?dkk?0y[n?k]?M?k?0pkx[n?k]?[n]?h[n]，则系统响应为如下的卷积计算式：

y[n]?x[n]?h[n]?m????x[m]h[n?m]

? 当h[n]是有限长度的（n：[0，M]）时，称系统为FIR系统；反之，称系统为IIR系统。在MATLAB中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=Conv(x,h)计算卷积。 例1

clf; n=0:40; a=1;b=2; x1= 0.1*n;

x2=sin(2*pi*n); x=a*x1+b*x2; num=[1, 0.5,3]; den=[2 -3 0.1];

ic=[0 0]; %设置零初始条件

y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n

XXXX大学

2012届学士学位论文

离散傅里叶变换的分析与研究

学院、专业 物理与电子信息学院

电子信息工程

研 究 方 向 数字信号处理 学 生 姓 名 XX 学 号 XXXXXXXXXXX

指导教师姓名 XXX 指导教师职称 讲师

2012年4月26日

淮北师范大学2012届学士毕业论文 离散傅里叶变换的分析与研究

离散傅里叶变换的分析与研究

XX

淮北师范大学物理与电子信息学院 235000

摘要 离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析

第八章 离散时间系统的变换域分析

§8-1 引 言

一、变换域分析的目的：

类似于连续时间系统的L.T.，离散时间系统通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题，其目的是通过变换域分析将原来的求解问题简化。

二、Z变换的发展史

十八世纪，英国数学家棣莫弗（De Moivre）提出生成函数，并应用于概率论。实质上，生成函数与Z变换的形式相同。从十九世纪拉普拉斯（P.S.Laplace）到二十世纪沙尔(H.L.Seal)等人都对其进行了进一步深入研究。

二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T.

1

三、离散时间系统的分析方法

1． 离散时间系统的Z域分析法，这在本课

程进行研究。

2． 离散时间系统的频域分析法，即利用离

散傅里叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。

3． 除了DFT以外，还有如