用积分求圆球面积

积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)

(∞→n 每份长为x ?

球体也同时被垂直分成n 份薄片

每片的半径为22x R r -=

每片分得弧长为l d

如图:当无限等分后

(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?=

易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX

EH OC CE ?= x x R R

l ?-=??22弧 薄片的球面面积x x R R

x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ

x R S ?=?π2

球面面积??+-+-==R

R R R Rx Rdx ππ22=2

4R π 方法二:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份

)(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈

球体也同时被垂直分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ?

每片对应的半径为θsin R r =

当0→?θ时

(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB

曲线积分与曲面积分

一选择题

1． xds=（ ），L为抛物线y?x2上0?x?1的弧段。

?L（A）

111(55?1) （B）(55?1) （C） （D）(55?1)

128122．设L是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则 （A）0,?Lxds和?xdy?ydx?[ ]

L2525 （B）0,0 （C）, （D）,0 383812xx223．设L为从A(1,)沿曲线2y?x到点B(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy=

Ly2y （A）?3 （B）

3 （C）3 （D）0 2x2y2?1,其周长为a,求?(3x2?4y2)ds= ； 4. 设L为椭圆?L435．设L为x2?y2?1上点(1,0)到(?1,0)的上半弧段，则6．L为逆时针方向的圆周:(x?2)2?(y?3)2?4,则7.设L是由点A(1,?1)到B(1,1)的线段，则8.计算下列对弧长的曲线积分 1）

? L2ds= ；

?ydx?xdy? ；

L?L(x2?2xy)dx?

如何对曲线在指定区间进行积分

在数据分析过程中，有时需要求曲线特定区间的积分。例如，求下图横坐标12-18之间的积分值。

1.选中曲线，进入Analysis下的Mathmatics，点击Integrate。

1

2.依次点开Input、Range前的+号，即可看到积分对应的数据（红色矩形框内）。

在此，是对X轴的指定段12-18求积分；因此点击Rows后面的下拉框，选择By X。 All指全段积分；

By Row指按照Workbook中指定行的范围积分；

By X指按照图中X轴的范围积分；

2

3.在Input-Range-Rows下的From和To中填写区间范围12-18。点击OK按钮即可获取积分值。

3

4.积分结果会在Results Log中显示，约为2076；

对应的积分范围见下图。

4

注意：曲线在X值为12和18处的点不在同一基线上，如需要以12和18处两点的连线作基线计算积分，请按后面的方法操作。

5.同样选中曲线，进入Analysis下的Mathmatics，点击Integrate下的Open Dialog （以前使用过积分功能的话，则会出现Open Dialog）。

5

6.同上选择By X，填写区间12-18。然后勾选“Use End Points Str

补充内容 一．二重积分

定义：设D为xy平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数。用任意的曲线把D分成n个小区域?1,?2,??n. 以??i表示小区域的面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径，称T?maxdi为分割T的细度。在每个?i上任取一点

1?i?nn(?i,?i)，作和式?f(?i,?i)??i，称它为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和。

i?1如果

n lim?f?(i?,i?)?i

T?0i?1存在，则称f(x,y)在D上可积，此极限值就称为f(x,y)在D上的积分，记为

??Df(x,y)d?，即

n

??Df(x,y)?d?T?0li?mi?1f?i(?i?,?)i。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??Dkf(x,yd)??k??fx(y,d?)

D 2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

??[fD(x,y

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为y?f?x?，x??a,b?，其上每一点的密度为??x,y?．

如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为

M1,M2,...,Mn, 每一小弧段的长度分别是?s1,?s2,...,?sn．取其中的一小段弧Mi?1Mi来分

图13-1

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点

??i

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

如何利用平移变换解决问题（二）

一、教学目标：

1、知识与技能：使学生能够利用平移变换解决有关周长和面积的计算问题；

2、过程与方法：在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力；

3、情感态度价值观：（1）体验数学知识是通过观察猜想和验证的过程，欣赏数学图形之美

（2）体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程

二、重点与难点

1、重点： 平移变换的正确使用；

2、难点： 能对复杂图形进行恰当的平移变换是难点。

三、教学用具：计算机

四、教学过程

（一）课题引入

平移变换是图形变换的基础，利用平移的特征。

（二）分析问题和解决问题

1、运用平移解决周长计算问题

例1、如图2—1，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）.

（A）21 （B）26 （C）

37

（D）42

图1 图2

分析：图中只给出了一个底边的长和高，所以要从现有的条件入手.我们可以利用平移的知识来解决：把所有的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可以重新拼成一个长方形（如右图2—2），可得多边形的周长为2×（16＋5）=42．

答案：

高等数学学习辅导 多元函数积分学 1

多元函数积分学

一、主要内容

1、重积分的概念与性质.

2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.

3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标. 4、重积分的应用：几何应用、物理应用.

5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质. 6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.

7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质. 8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）. 9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用. 10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.

二、学习要求

1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。

2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。线、面积分表达式并进行计算。

4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）

5、掌握曲线（面）积分与积分

线 面 积 分 习 题

一、填空

1.设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分

? L(x2?y2)ds?（ ? ）.

2. 设C为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)，则

22?C(x2?y2)ds=2?a3

33．L为圆周x?y?2x沿逆时针方向, 计算?xdy?ydx= 。

L??3解：设D:x?y?2x，由格林公式得

2cos??332232d?xdy?ydx?3rdr ?(3x?3y)dxdy??????0??D2L22???12?

2??231?9cos?d??24?2cos4?d??24?????。

042224?4．L为上半圆周y?2ax?x2沿逆时针方向, 计算

?(eLxsiny?2y)dx?(excosy?2)dy= 。

解：记L1为y?0上从x?2a到x?0的有向线段，D:0?y?由格林公式得

2ax?x2，

?L?L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy???2dy??a2，

D?所以 ?(e又

L1(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy?0，

xLsiny?2y)dx?(excosy?2)dy??a2。

5.