常微分方程课后答案
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06 常微分方程
同济大学五版高等数学学习资料
第六章 常微分方程
一. 求解下列微分方程: 1. y' ex y
+ex=0.
解.
dydx=ex(e y 1), dye y 1
=exdx ln1 ey
=ex, 1 ey=cee xc
y=ln(1 ce
e x
).
2. dy dx
=(1 y2
)tanx
y(0)=2
解.
dy
1 y
2
=tanxdx
11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln
1+y13+cos2x
3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x
二. 求解下列微分方程:
1. x x
1+ey 1 x
dx+ey
y dy=0 xey
x
1 解. dx y dy
=x
. 1+ey
令
x
y
=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy
, 所以 u+ydudy=eu(u 1)
1+eu duueu euudy1+eu u= +eu
y=1+eu
c= 1
3
同济大学五版高等数学学习资料
u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu
ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu
x
cc1u+euy
常微分方程1
常 微 分 方 程
试卷(一至十) 试 卷(一)
一、填空题(3′×10=30′)
1、以y1=e2x,y2=exsinx,y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。
2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题
dy?x,y(0)=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。
5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x,y,p)=0若有奇解y=? (x),则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组
dY,Y2(x)…,Yn(x)?A(x)Y的解组Y1(x)
dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A=
1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ,则矩阵指数函数exA= 。
9、方程y???y??y?0的通解是 。
10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程(7′×4=28) 1、求方程
dyx?y?1?的通解: dxx?y?32、 (1+x2)y
常微分方程建模方法
第二章 微分方程方法
在应用数学方法解决实际问题的过程中,很多时候,要直接导出变量之间的函数关系较为困难,但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易,在这种情况下,就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上,微分方程是研究函数变化规律的有力工具,在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.
利用微分方程解决的问题通常可以分为两类:一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数,这时,有些问题可以求出未知函数的解析表达式,在很多情况下只能利用数值解法;另一类问题只要求知道未知函数的某些性质,或它的变化趋势,这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.
2.1 微分方程的一般理论
2.1.1微分方程简介
所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如
y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x (2.1.1) x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0
56常微分方程试卷
南京理工大学《常微分方程》期末试卷
姓名 共 ----- 页
学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 (通编、讲义、自编) 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 (闭、开)卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一. 求下列一阶微分方程的通解:(28分)
1.
dy?1?x?y2?xy2 dx
2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0
dx?dx?dyyy2??2 4.
dxxx二. 设连续函数f(x)满足:三. 利用逐次逼近法求方程
2?x0(10分) f(t)dt?x??tf(x?t)dt,求函数f(x)。
0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解: dx(8分) ?0(x),?1(x
常微分方程数值解法
第八章
常微分方程数值解法
摘要:对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词:导,论,算法 类别:专题技术
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常微分方程数值解法
教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法;2. 掌握解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性;多步法的稳定性。
教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;难点是理
常微分方程习题(1)
常微分期终考试试卷(1)
一、 填空题(30%)
1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是( )。有只含y的积分因子的充要条件是______________。 2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。 4、若X1(t),X2(t),?,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。 5、形如___________________的方程称为欧拉方程。
6、若?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵,则?(t)和?(t)具有的关系是_____________________________。
7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%) 1、ydx?(x?y3)dy?0 2、x???x?sint?cos2t
??1??21??3、若A??试求方程组x?Ax的解?(t),?(0)?????并求??
常微分方程期末复习
1.求下列方程的通解。
dydx?4ey?ysinx?1.
解:方程可化为
dedx??e?4sinx?1
y 令z?ey,得
dzdx??z?4sinx
由一阶线性方程的求解公式,得 z?e?(?1)dx(?4sinxe??(?1)dx)dx?c?e?x?2(sinx?cosx)?e?c?2(sinx?cosx)?cex?x所以原方程为:ey=2(sinx?cosx)?ce?x
2.求下列方程的通解。
dy2?2?y?1?()??1.
dx??解:设
dydx?p?sint,则有y?sect, 1?sectdt?c?从而x??sinttgt?sec2tdt?t?tgt?c ,
故方程的解为(x?c)2?1?y2, 另外y??1也是方程的解 .
3.求方程
解:?0(x)?0 ?1(x)? ?2(x)? ?3(x)??dydx?x?y通过(0,0)的第三次近似解.
2?x0xxdx?(x?1412x
42?0x)dx?12x?2120x
x5?x012152??x?(x?x)?dx??220??x?2?014117??10x?x?x?x?dx ?440020??x
812120x?514
常微分方程小论文
常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究
课 程 小 论 文
论文名称: 关于y'' ay' b 0的系数与解的研究
所属课程: 常 微 分 方 程
授课教师: **********
学院(系): **********
姓 名: ******** 学号: **********
姓 名: ******** 学号: **********
姓 名: ******** 学号: **********
2010年1月
常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究
[摘要]
本文就关于方程y'' ay' b 0的解的相关性质与其系数的关系进行了研究,选取了4道例题作为相关题型的代表。
[正文]
关于y'' ay' b 0的系数与解的研究
方程y'' ay' b 0是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程,而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径,并不是给定系数,去计算其解的性质,而是针对各种对解的要求,来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。
[例1]当a和b取何值时,方程y'' ay' b 0的所有解在整条数轴 x 上是有界
的?
a[解] 首先求出特征方程 b
0的根。有
《常微分方程》答案 习题5.3
习题5.3
1、 假设A是n?n矩阵,试证:
a) 对任意常数c1、c2都有
exp(c1A+c2A)=expc1A·expc2A
b) 对任意整数k,都有
(expA)=expkA
(当k是负整数时,规定(expA)=[(expA)
证明:a) ∵(c1A)·(c2A)=(c2A)·(c1A)
∴ exp(c1A+c2A)= expc1A·expc2A b) k>0时,(expA)=expA·expA……expA =exp(A+A+……+A)
=expkA k<0时,-k>0
(expA)=[(expA)
k?1kk?1k]
?k)
]
?k=[exp(-A)]
?k = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)
=exp[(-A)(-k)] =expkA
故?k,都有(expA)=expkA
2、 试证:如果?(t)是x=Ax满足初始条件?(t0)=?的解,那么
'k?(t)=[expA(t-t0)]?
-1
证明:由定理8可知?(
0>《常微分方程》答案 习题4.2
《常微分方程》习题答案
习题4.2
1. 解下列方程
(4)x 5x 4x 0 (1)
解:特征方程 4 5 2 4 0有根 1 2, 2 2, 3 1, 4 1
2t 2tt t
ce ce ce ce故通解为x=1 234
23
x 3ax 3ax ax 0 (2)
解:特征方程 3 3a 2 3a2 a3 0
有三重根 a
故通解为x=c1eat c2teat c3t2eat
(5)x 4x 0 (3)
解:特征方程 5 4 3 0
有三重根 0, 4 2, 5 -2 故通解为x c1e
2t
c2e c3t c4t c5
2t2
(4)x 2x 10x 0
解:特征方程 2 2 10 0有复数根 1 -1+3i, 2 -1-3i
故通解为x c1e tcos3t c2e tsin3t (5) x x x 0
解:特征方程 2 1 0有复数根 1 1 故通解为x c1e
1
t2
3i
2
, 2
1 i
, 2
cost c2e
2
1 t2
3sint
2
《常微分方程》习题答案
(6) s a2s t 1
解:特征方程 2 a2 0有根
1 a, 2 -a
当a 0时,齐线性方程的通解为s=c1eat c2e at
~s A Bt
代入原方程解