二次函数判定定理

矩形的判定定理教学设计

一、教学任务

人教版八年级数学（下）第十九章第19.2.1节矩形第二课时

二、教学目标

●知识与技能

1、会证明矩形的两个判定定理，

2、会运用定义或定理判定一个四边形是否为矩形，并能进行有关的论证与计

算，解决相关问题。

●过程与方法

1、经历探究矩形判定条件的过程，通过观察——总结——猜想——证明，发

展学生的合情推理能力，培养主动探究的习惯。

2、通过动手实践、合作探索、小组交流、培养学生的逻辑推理、动手实践等

能力。

●情感态度与价值观

1、在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成

功的体验，增强自信心。在合作学习中增强集体责任感。

2、让学生在探索过程中加深对矩形的理解，体验数学活动充满探索与创新，

激发其求知欲望。

3、渗透类比与转化的数学的思想，以及用数学的意识，进一步矩形的结构美

和应用美。

三、教学重点

探索矩形的判定定理的过程和应用。

四、教学难点

矩形判定与性质的综合应用

五、教学方法

探究发现、合作学习的方法

六、教学过程

●创设情境、导入新课

问题1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

问题2：矩形的定义有什么作用：

一、告诉了我们矩形是什么样的图形即矩形的一个性质

二、明白了满足什么条件的图形是矩形即矩形的一种判定方

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二次函数：图象位置与a ，b ，c ，△的符号

（1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ；

0

当b a ,同号时?对称轴在y 轴 ；0=b ?对称轴为 ；b a ,异号

?对称轴在y 轴 ，简称为 ．

（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点．

一、通过抛物线的位置判断a ，b ，c ，△的符号．

例1．根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号

（1）a ＋b ＋c_______0（2

）a －b ＋c_______0 （

3）2a －b _______0（4）4a ＋

2b ＋c_______0 二、通过a ，b ，c

，△的符号判断抛物线的位置：

例1．若0,0,0<>

例2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

+bx+c 经过 象限． 例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 且a ＜0，a-b+c ＞0；则一定有b 2-4ac

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《直线与平面垂直的判定定理》教学设计

作者：黄章盛

来源：《学校教育研究》2017年第09期

一、对本节课教与学的认识 1.对本节的教学分析

新课标指出，以空间几何的定义和公理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。对于判断定理不要求证明，但对于性质定理要求证明。这样的要求是体现出立体几何初步以直观感知和操作确认为重点，强调建立和提升学生的空间想象力和几何直观能力，而对于推理论证能力，需要根据学生的实际情况进行适度合理的要求。线面垂直关系的模型在我们所生活的环境中普遍存在，因此，在立体几何初步中，垂直关系必然成为线面关系中的核心内容之一。 2.学情分析

学生生活的空间存在着丰富的垂直关系，因此学生对直线与平面的垂直关系并不陌生，只不过学生头脑中的对直线与平面垂直的理解还不能数学概念上的理解。 3.教学目标分析 知识与技能

（1）理解直线和平面垂直判定定理的含义； （2）会用直线和平面垂直判定

8.4平行线的判定定理

学习目标：

1、掌握直线平行的条件，并会进行简单的应用。 2、领悟归纳和转化的数学思想方法。

学习重点：运用平行线的判定方法判断两直线平行。 学习难点：运用平行线的判定方法进行简单的推理。

一、复习回顾：

1、证明几何命题的步骤是什么呢？

2、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线______。（简记为：同位角相等，两直线________。）

二、探索新知：

（1）平行线判定定理一证明：

平行线的判定定理一：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（简记为：同旁内角互补，两直线平行。）

1、指出定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知和求证。

已知： 求证： 证明：

（2）平行线判定定理二证明：

平行线判定定理二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（简记为：内错角相等，两直线平行。）

1、指出定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知和求证。

已知： 求证： 证明：

三、应用新知： 1、如图，填空：

（1）∠A与_________互补，

则AB∥_______（ ） （2）∠A与_________互补，

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

九年级数学(下)第三章 圆

5.直线和圆的位置关系(2) 切线判定定理

直线与圆的位置关系量化揭密r O ┐d r●

●

O

r●

O

相交

d ┐ 相切

d ┐ 相离

直线和圆相交直线和圆相交

d < r;d = r;

直线和圆相交

d > r;

切线的性质定理

定理

圆的切线垂直于过切点的直径.

B

如图∵CD是⊙O的切线,A是 切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.C

●

O D

老师提示: 切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作 过切点的半径是常用经验辅助线之一.

A

议一议

直线何时变为切线

如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角 为∠α,当CD绕点A旋转时,B

1.随着∠α的变化,点O到CD的距离 如何变化?直线CD与⊙O的位置关系 如何变化?

●

O D

2.当∠α等于多少度时,点O到CD 的距离等于半径?此时,直线CD与 ⊙O有的位置关系?有为什么?

α d C

α ┓ A

你能写出一个命题来表述这个事实吗?

议一议

切线的判定定理

定理 经过直径的一端,并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线. BO D

如图 ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.

●

老师提示: 切线的判定定理是证明

《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字

母系数a、b、c的关系》

说 课 稿

一.教学背景分析： （一）教材分析

本节课的教学内容是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字母系数a、b、c的关系， 是二次函数图像和性质及一元二次方程与函数的综合性应用，是二次函数教学中的重点、难点之一，它是集图像、符号、文字为一体的问题。同时也是近年来中考命题的热点，在中考试卷中通常以选择题（3分）或填空题（4分）的方式呈现。因为所占的分值少，加之需要学生有良好的学习基础，所以教学中未能引起教师和学生的足够重视。学生在识图的过程中往往容易忽略特殊点、对称轴问题，不去归纳和总结解决这类问题的模型，所以其中一个选择支的误判，就会增加失分，而且影响学生对后面二次函数综合性问题解决的能力的提升。因此通过这一教学内容做专题性的研讨，尝试寻求建立解决这一问题的模型，优化解决问题的方法。从而提高学生分析和解决问题的能力。 （二）学情分析：

学生已经学习了二次函数图像及性质等相关内容，具有一定的知识储备，能运用图像和性质对简单的问题进行分析和解答，但部分学生的计算能力、推理能力较弱，对这类问题的数形结合思想、特殊点函数值的利用、式子的变形技巧等，不能结

二次函数应用

1.（2012?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 2.（2010?武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利

二次函数

【教学目标】

1．了解二次函数的意义，会用待定系数法求二次函数的解析式．

2．会用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，并运用二次函数的性质解决相关问题．

3．了解二次函数与一元二次方程的关系，进一步体会数形结合、转化等思想方法．

【教学重难点】

二次函数的图象和性质的应用．

【教学过程】

一、基础训练

1．二次函数y ax2 bx c（a 0）图象如图所示．

（1）你能根据图中的信息得出哪些结论？

（2）若抛物线与x轴交点的横坐标为-1和5，则该抛物线的对称轴为 ，方程ax2 bx c 0的根为；

（3）若抛物线的顶点坐标为（2，9），则方程ax bx c m有实数根的条件是 ；

（4）在（2）的条件下，若抛物线与y轴交于点（0，5），请求出该二次函数解析式．

2

二、合作交流

1．二次函数y ax2 bx c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a b＝

220；③当m≠1时，a b＞am2 bm；④a b c＞0；⑤若ax1 bx1＝ax2 bx2，且x1

≠x2，则x1 x2＝2．其中正确的有（ ）．

A．①②③

C．②⑤ B．②④ D．②③⑤

2．若抛物线y mx (m 2)x 1m

§3.3 二次函数

A组 2015年全国中考题组

一、选择题

1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：

x y … … －2 －11 －1 －2 0 1 1 －2 2 －5 … … ( )

由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是 A．－11

B．－2

C．1

D．－5

解析 由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴b?－2a＝0，

?a＝－3，?

解得?b＝0，∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，?c＝1，

??a＋b＋c＝－2.?c＝1.y＝－3×22＋1＝－11，故选D. 答案 D

2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0 ②2a＋b＝0 ③a－b＋c>0 ④4a－2b＋c

B．只有①

( ) C．③④

D．①④

b

解析 由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－2a＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确． 答案 D

3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )

A．x<－4或x>2