实变函数与泛函分析考试试卷

实变函数与泛函分析概要

第一章 集合 基本要求：

1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、 会求已知集合的并、交、差、余集。 4、 了解对等的概念及性质。 5、 掌握可数集合的概念和性质。 6、 会判断己知集合是否是可数集。

7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。

第二章 点集 基本要求：

1、 理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、 会求己知集合的开集和导集。

5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、 了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：

1、 聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）

2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

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T2：设A?

实变函数与泛函分析初步 试卷

(课程代码02012)

专业________班级_______姓名 学号

题号 一 二 三 四 五 总分

得分 注 意 事 项

1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设M,N是两集合，则 M?(M?N)=（ ） (A) M (B) N (C) M?N (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

E中无穷多个点，则PE的聚点 (A) P0的任一领域内都有0是E中异于PE的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并

泛函分析考试试卷

一、选择题。

1、下列说法不正确的是（ ）

A、 n维欧式空间Rn 是可分空间 B、 全体有理数集为Rn 的可数稠密子集 C、 l∞ 是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0?X连续的充要条件是（ ） A、当xn→x0（n→∞）时，必有Txn→Tx0（n→∞） B、当xn→x0（n→∞）时，必有Tx0→Txn（n→∞） C、当x0→xn（n→∞）时，必有Txn→Tx0（n→∞） D、当xn→x0（n→0）时，必有Txn→Tx0（n→0） 答案：D

3、在度量空间中有（ ）

A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列

D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C

4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（ ） A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、Lp[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间 C、空间lp是巴拿

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（ ）

（A）limAn Ak; （B）An Ak;

n

n 1k n

n 1k n

（C）limAn Ak; （D）An Ak;

n

n 1k n

n 1k n

2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A）P c (B) mP 0 (C) P P (D) P P 3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测

(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测

4、设 fn(x) 是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若fn(x) f(x), 则fn(x) f(x) (B) sup fn(x) 是可测函数

n

'

（C）inf fn(x) 是可测函数;（D）若fn(x) f(x),则f(x)可测

n

5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) 二.

第十一章 线性算子的谱

1． 设X?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X。证明?(A)?[0,1]，且其中没有特征值。 证明 当??[0,1]时，常值函数1不在?I?A的值域中，因此?I?A不是满射，这样

???(A)。

反之若??[0,1]，定义算子R?:R??1x(t)。则由于??[0,1]，且 ??tR?x?maxa?t?b11x(t)?x ??td(?,[0,1])因此R?是C[0，1]中有界线性算子。

易验证R?(?I?A)?(?I?A)R??I，所以???(A)。 总之?(A)?[0,1]，

若Af??f，则对任意t??，tf(t)??f(t)，可推得f(t)?0。由于f(t)?C[0,1]，必有f(t)?0，所以A无特征值。证毕。

2． 设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X.，证明

it?(A)?{???1}。

证明 对任意eit0it,(eit0I?A)x(t)?(eit0?eit)x(t)。因为常值函数1不在eI?A的值

0it域中，因此e0??(A)。这样{???1}??(A)。

反之，若

??1，定义R?:(R?x)(t)?1x(t)。类似第1题可证R?是有界线性算

??eit子，且R?

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实变函数论考试试题及答案

证明题：60分

??1、证明 limAn=n??n?1m?nAm。

???证明：设x?limAn，则?N，使一切n?N，x?An，所以x?n???????m?n?1?Am???Am,

n?1m?n则可知limAn???Am。设x???Am，则有n,使x??Am，所以

n??n?1m?nn?1m?n?m?nx?limAn。 因此，limAn=??Am。

n??n??n?1m?n?2、若E?Rn，对???0，存在开集G, 使得E?G且满足 m*(G?E)??， 证明E是可测集。

证明：对任何正整数n， 由条件存在开集Gn?E，使得m*?G?E??令G??Gn,则G是可测集，又因m*?G?E??m*?Gn?E??n?1?1。 n1， n对一切正整数n成立，因而m?(G?E)=0，即M?G?E是一零测度集，故可测。由E?G?(G?E)知E可测。证毕。

)几乎处处成立，n?1,2,3,?, 则3、设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x有{fn(x)}a.e.收敛于f(x)。

证明 因为fn(x)?f(x)，则存在{fni}?{fn}，使fni(x)在E上a.e.收敛到f(x)。设

考

试卷三（参考答案及评分标准）

生一、一 单项选择题（3分×5=15分）

答11、设An?[,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ B ）

n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)

n??n??题2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

'o不3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（ A ）

得??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn

?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对

?n?1?n??超5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B

考安庆师范学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 答题号 得分 一 二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P '?3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(

考安庆师范学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 答题号 得分 一 二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P '?3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(

山东财政学院

《实变函数与泛函分析》期中考试试卷

（考试时间为120分钟）

一、叙述下列定理

1、Bernstein定理 2、Egoroff 定理 3、Riesz 定理 二、判断题

1、当两个点集 E1,E2 无交时,必有m*(E1E2)?m*E1?m*E2. ???( )

2、当 G?E, mG?mE?? 时，必有 m(G\\E)??, ???( ) 3、若 x0 是 E 的聚点, 则 x0 的任何邻域U(x0,?) 中都含有无限多个属于 E 的点.( )

4、有界点集 E 可测等价于E与 {Ln} 中每个半开区间 Ln 的交都可测. ??( )

其中 {Ln} 为半开区间的全体{x|ni?xi?ni?1, i?1,...,N}, ni 是整数, i?1,...,N

5、R1 中, 自然数集的导集是空集, ???( ) 6、R1 中,空集的导集是空集. ???( ) 数.