线性代数第三章知识框架图

第三章 向量组的线性相关性和秩

一 基本要求

1．理解n维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示．

2．理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性． 3．了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩． 4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系．

5．了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵．

二 主要内容

1. 向量

(1) 定义：n个有顺序的数?1,?2,?,?n所组成的数组??(?1,?2,?,?n)叫做n维向量，数?1,?2,?,?n叫做向量?的分量(或坐标)，n称为向量?的维数． (2) 向量的运算

①加法运算：设有向量??(a1,a2,?,an)，??(b1,b2,?,bn)，则

????(a1?b1,a2?b2,?,an?bn).

加法运算满足运算规律： 交换律：???????.

结合律：??(???)?(???)??.

②数量k与向量?的乘积：k??(ka1,ka2,?,kan). 数乘运算满足运算规律： 交换律：k???k. 结合律：k(l?)?(kl)?.

分配律：k(???)?

线性代数课本第三章习题详细答案

第三章 课后习题及解答

将1，2题中的向量 表示成 1, 2, 3, 4的线性组合：

1． 1,2,1,1 , 1 1,1,1,1 , 2 1,1, 1, 1 , 3 1, 1,1, 1 , 4 1, 1, 1,1 .

T

T

T

T

T

2． 0,0,0,1 , 1 1,1,0,1 , 2 2,1,3,1 , 3 1,1,0,0 , 4 0,1, 1, 1 .

解：设存在k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 2

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 1

解得k1

5454

,k2

14

,k3

14

,k4

14

.

所以

1

14

2

14

3

14

4.

设存在 k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 2k2 k3 0，k1 k2 k3 k4 0，

3k2 k4 0，k1 k2 k4 1.

解得 k1 1,k2 0,k3 1,k4 0. 所以 1 3.

线性代数课本第三章习题详细答案

判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. 1 1,1,1 , 2 0,2,

第三章 向 量 空 间3.1 3.2 3.3 3.4 n维向量概念及其线性运算 线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间

3.1

n维向量概念及其线性运算

3.1.1 n维向量及其线性运算 3.1.2 向量的线性组合

3.1.1 n维向量及其线性运算定义3.1.1 由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组 ( a1,a2,……,an )称为一个n维向量， 数ai称为该向量的第i个分量 i=1,2,…,n

向量的维数指的是向量中分量的个数. 向量写成一行(a1,a2,……,an) 列向量写成一行 (a1,a2,……,an)T列向量写成一列 a1 a2 . an

行向量

用小写的黑体字母:α,β, x, y , …表示向量用带下标的白体字母:ai,bi, xi, yi, …表示向量 1 行 、 列 不 同 不 等 ： 1, 2 2

次序不同不等：

1, 2 2, 1

n维向量——矩阵定义一 个 n 维 行 向 量 a 1 , a 2 , , a n .可 以 定 义 为 一 个 1 n的 矩 阵

b1

线性代数第三章综合自测题

一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面

横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组α1,α2,?,αm线性表示，则（ D ）。

（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm （B）对β的线性表示惟一

（C）向量组β,α1,α2,?,αm线性无关

（D）存在一组数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm 2. 向量组?1,?2,?,?t线性无关的充分条件是（ C ） （A）?1,?2,?,?t均为非零向量；

（B）?1,?2,?,?t的任意两个向量的分量不成比例； （C）?1,?2,?,?t中任意部分向量组线性无关； （D）?1,?2,?,?t中有一个部分向量组线性无关。

3. 若α1,α2,?,αm线性相关，且k1α1?k2α2???kmαm?0，则（ D ）。 （A）k1?k2???km?0 （B）k1,k2,?,km全不为零 （C）k1,k2,?,km不全为零 （D）上述情况都有可能 4. 一个m?n阶矩阵

第三章 习题与答案 习题 A

TT1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1?4??1??16??12??5??16??1???????????????12931094???????. 解 3α1?5α2?α3?3???5????????????3???3??1???9???15??1???25???????????????22?3?610?37??????????????2.从以下方程中求向量?

3(α1?α)?2(α2?α)?5(α3?α)，

T其中α1?(2,5,1,3),αT,5,10),αT,?1,1). 2?(10,13?(4,1解 由方程得3α1?3α?2α2?2α?5α3?5α?0，

?2??10??4??6?????????51112 6α?3α1?2α2?5α3?3???2???5?????

?1??5???1??18??????????3??10??1??24??1???2故α???,即αT?(1,2,3,4).

?3????4?3.求证:向量组α1,α2,?,αi,?αs中

第三章 线性空间

习题精解

1. 把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.

1)??(1,2,1,1)?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)

?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)

?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4

代入所给向量，可得线性方程组

?k1?k2?k3?k4?1?k?k?k?k?2?1234 ??k1?k2?k3?k4?1??k1?k2?k3?k4?1解之，得

k1?因此

5111, k2?, k3??, k4?? 4444???1??2??3??4

2）同理可得

54141414???1??3

2.证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量可由?1,?2,?,?r线性表出.

证 由题设，可以找到不全为零的数k1,k2,?,kr?1使

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0

显然kr?1?0.事实上，若kr?1?0，而k1,k2,?,kr不全为零，使

线性代数知识点框架（一）

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式

大学课程线性代数期末复习

第一章:行列式

1. 二阶和三阶的求解。

2. n级排列有n!个，12…为自然序排列。

3. 求一个排列中的逆序数。

4. 上，下，和对角型行列式的求法。

5. n级排列中奇排列和偶排列个数相等，各为n!/2个。

6. 行标自然排列，求列标组成排列的逆序数，从而判断行列式某几项乘积前应带的正负号（偶排列为正，反之为负）P9页上。

7. 行列式的性质：

（1）行列式与他的转置行列式相等（行列互换为转置行列式）。

（2）行列式可按行或者列提取公因式。

（3）数K与行列式相乘等于与行列式的某行或者某列的所有元素都乘以K。

（4）交换行列式的两行或者两列，行列式变号。

（5）行列式中两行或者两列的元素对应相等或者成比例，则行列式值为零。

（6）行列式的某一行或者列元素乘以K加到另一行或者列的对应元素上，行列式的值不变。

（7）行列式转换为三角形行列式时（便于计算行列式的值），行列转换可以混着用。

8. 余子式和代数余子式有区别P18

9. 行列式等于任意一行或者列的每个元素与其代数余子式的乘积之和。

10.行列式中某行或者列的各个元素与另一行或者列的对应元素的代数余子式的乘积之和

等于零。

11.克莱姆法则：

（1）非齐次线性方程组与齐次线性方程组有区别。

（2）搞清

第三章 多元线性回归模型

一、名词解释

1、多元线性回归模型

2、调整的决定系数R2

3、偏回归系数

4、正规方程组

5、方程显著性检验

二、单项选择题

1、在模型Yt 0 1X1t 2X2t 3X3t t的回归分析结果中，有F 462.58，

则表明 （ ） F的p值 0.000000，

A、解释变量X2t对Yt的影响不显著 B、解释变量X1t对Yt的影响显著

C、模型所描述的变量之间的线性关系总体上显著 D、解释变量X2t和X1t对Yt的影响显著

2、设k为回归模型中的实解释变量的个数，n为样本容量。则对回归模型进行总体显著性 检验(F检验)时构造的F统计量为 （ ） A、F

ESSkRSS(n k 1)ESSRSS

B、F

ESS(k 1)RSS(n k)RSSTSS

C、F D、F 1

2

3、已知二元线性回归模型估计的残差平方和为 ei 800，估计用样本容量为n 23， 则随机误差项 t的方差的OLS估计值为

方向图测量

第三章 方向图测量

第一节 引言

天线的方向图是表征天线辐射特性(场强振幅、相位、极化)与空间角度关系的图形。完整的方向图是一个三维的空间图形，如图3.1所示。它是以天线相位中心为球心（坐标原点），在半径r足够大的球面上，逐点测定其辐射特性绘制而成。测量场强振幅，就得到场强方向图；测量功率，就得到功率方向图；测量极化，就得到极化方向图；测量相位，就得到相位方向图。若不另加说明，本书说述方向图均指场强振幅方向图。三维空间方向图的测绘十分麻烦，实际工作中，一般只需测得水平面和垂直面（即XY平面和XZ平面）的方向图就行了。

图3.1 测量方向图的坐标

天线方向图可以用极坐标绘制，也可以用直角坐标绘制。极坐标方向图的特点是直观、简单，从方向图可以直接看出天线辐射场强的空间分布特性。但当天线方向图的主瓣窄而副瓣电平低时，直角坐标绘制法显示出更大的优点。因为表示角度的横坐标和表示辐射强度的纵坐标均可任意选取，例如即使不到1的主瓣宽度也能清晰地表示出来，而极坐标却无法绘制。图3.2所示为同一天线方向图的两种坐标表示法。 o

图3.2 方向图的表示法 (a)极坐标 (b)直角坐标

方向图测量

一般绘制方向图时都是经过归一化的，即径向长度(极坐标)或纵坐标值(