正交变换的定义和性质

第20讲 正交变换与内积

1. 设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换?A保持内积不变?A

保持向量长度不变?A将标准正交基变到标准正交基?A在标准正交基的矩阵为正交阵。

2. 正交变换A保持向量夹角不变

(А???,А???)??,?????,??

?А???,А?????arccos? arccos|?||?|?А?????А????3. 设A是Euclid空间V的变换，?????V, ?A???,B????=??,??,则A是V的正

交变换

Proof:只须证明A是V的线性变换，?????V，有 A??????-A????-A???,A?? -A??-?A??????=A?????,A??????A???,A??????A???,A?????

?????? ??A?????,A??????A???,A??????A???,A????

?A?????,A????A???,A????A???,A???

=????,???????,???????,?????????,?????,?????,?? ?????,?????,?????,???0 则A?????-A???-A????0

???R, ???V,

第20讲 正交变换与内积

1. 设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换?A保持内积不变?A

保持向量长度不变?A将标准正交基变到标准正交基?A在标准正交基的矩阵为正交阵。

2. 正交变换A保持向量夹角不变

(А???,А???)??,?????,??

?А???,А?????arccos? arccos|?||?|?А?????А????3. 设A是Euclid空间V的变换，?????V, ?A???,B????=??,??,则A是V的正

交变换

Proof:只须证明A是V的线性变换，?????V，有 A??????-A????-A???,A?? -A??-?A??????=A?????,A??????A???,A??????A???,A?????

?????? ??A?????,A??????A???,A??????A???,A????

?A?????,A????A???,A????A???,A???

=????,???????,???????,?????????,?????,?????,?? ?????,?????,?????,???0 则A?????-A???-A????0

???R, ???V,

实验4 图象处理中的正交变换

——频域处理

一．实验目的：

1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。

2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。

3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。

二．实验内容：

1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。

2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v) 3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。 4．对输入图像进行频域滤波处理。

三．实验原理：

1．快速傅里叶变换FFT的实现

一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB函数fft2获得，其简单语法：

F = fft2(f)

该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。

傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为： S = abs(

实验4 图象处理中的正交变换

——频域处理

一．实验目的：

1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。

2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。

3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。

二．实验内容：

1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。

2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v) 3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。 4．对输入图像进行频域滤波处理。

三．实验原理：

1．快速傅里叶变换FFT的实现

一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB函数fft2获得，其简单语法：

F = fft2(f)

该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。

傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为： S = abs(

数字图像处理基础第3章图像处理中的正交变换（第二讲）3. 2 离散余弦变换

图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT。

3.2.1 离散余弦变换的定义

一维离散余弦变换的定义由下式表示

F(0)?1NN?1?f(x)x?0N?1(3—74)

22(x?1)u?F(u)?f(x)cos?Nx?02N(3—75)

式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量，u?1,2,3,??,N?1；f(x)是时域N点序列，

x?0,1,??,N?1一维离散余弦反变换由下式表示

f(x)?12N?1(2x?1)u?F(0)?F(u)cos?NNu?02N(3—76)

显然，式(3—74)式(3—75)和式(3—76)构成了一维离散余弦变换对。

二维离散余弦变换的定义由下式表示

1F(0,0)???f(x,y)Nx?0y?02(2y?1)v?F(0,v)?f(x,y)?cos??Nx?0y?02NN?1N?1N?1N?12F(u,0)??Nx?0N?1N?1?y?0(2x?1)u?f(x,y)cos2N2(2x?1)u?(2y?1)v?F(u,v)???f(x,y)cos?cos(3—77) N

拉氏变换

2.5 拉氏变换与反变换

机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义

如果有一个以时间t为自变量的实变函数 f?t? ，它的定义域是 t?0，，那么f?t?的的拉普拉斯变换定义为

?stF?s??L?ft?ftedt????????0 (2.10)

?e?sts???j??s是复变数， （σ、ω均为实数）， 0称为拉普拉斯积分； F(s)是函数 f(t)的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 F(s)为 f(t)的象函数，而称 f(t)为 F(s)的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 F(s)。

1.单位阶跃函数

?1(t)的拉氏变换

单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能

的标准输入，这一函

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

§7-2 傅立叶变换的性质

这一节我们将介绍傅氏变换的几个重要性质。为了叙述方便，假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件，在证明这些性质时，不再 重述这些条件，望读者注意。 一。线性性质

设F

F c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t 或

f k t Fk c k 是常数(k =1,2,……,n),则有 c1F1 c2 F2 cn Fn c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t (7-2-1)

F 1 c1F1 c2 F2 cn Fn (7-2-1)’

该性质的证明可利用积分的线性性质直接由傅氏变换的定义式得到.1

二。位移性质 ： (1) 或 (2)

设F

f t F , (

则有：

F f t a e j a F F 1

F e j 0t f t F 0 ( 为实数) 0 F 1

e

j a

F f t a

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基{1,x,x2,?,xn,?}按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及

其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间[a,b]上，给定权函数?(x)，可以由线性无关的一组基{1,x,x2,?,xn,?}，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{?n(x)}?由?n(x)生成的线性空间记为?。对0，

*于f(x)?C[a,b]，根据次数k的具体要求，总可以在?在找到最佳平方逼近多项式?k (x)。

?n(x)的具体形式为：

(xn,?k)?0(x)?1;?n(x)?x???k(x),n?1,2?

k?0(?k,?k)nn?1这样构造的正交多项式?n(x)具有以下一些有用的性质： 1.

?n(x)为最高次数项系数为1的n次多项式；

2. 任一不高于n次的多项式都可以表示成

???kk?0

52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1） （2）( ) ( )

对 ，有 使 （ ） 0 （3） 零向量 有 （4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中 的乘积记作a ,a V）。如