动点问题全部题型

动点问题 题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线y??

C A A E O C F B

A D C F O E B

O B 3x?6与坐标轴分别交4

图图图

2、（2009年衡阳市）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60o．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0?t?2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009

重庆綦江）如图，已知抛物线

于A、B两点，动点P、Q同

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

例1：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积；

(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

B (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？

C

A 例2: ()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y， （1）写出y与x的关系式

(2)求当y＝

1时，x的值等于多少？ 3

例3：如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（

题型四 几何图形的折叠与动点问题

试题演练

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片

折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值范围是__________.

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边

AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．

3. (’15洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、

CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．

4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作

PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．

1

5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分

题型：选择题 难度：中等 详细信息 如图①，在矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC、CD、DA运动至点A停止，设P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②，则梯形ORMN的面积为（ ） A．65 B．60 C．40 D．20 根据图②中y与x的变化关系得出梯形的高，以及梯形的上底和下底，进而求出面积即可． 【解析】 设P运动的路程为x，△ABP的面积为y， 当x=3时，y取到最大，当x=8时，y开始减小，则CD=5， 故AB=5，BC=3， 则S△ABC=×3×5=即R，M的纵坐标为：∵EO=3，则TN=3， ∴NO=11，RM=8-3=5， ∴梯形ORMN的面积为：（5+11）×故选：B． 题型：填空题 难度：中等 详细信息 =60． ， ， 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB=6cm，试回答下列问题： （1）图甲中BC的长度是 ． （2）图乙中A所表示的数是 ． （3）图甲中的图形面积是 ． （4）图乙中B所表示的数是 ． 题型：解答题 难度：困难 详细信息

深本数学,就是深入本质学数学,是一项全新优秀的教育科研成果,是一套一通百通的数学学习方法。该方法通过深入数学的本质,找到中小学数学所有章节的知识规律和解题规律,其中包括四个大规律,十五个中规律和三十五个小规律。掌握这些规律,学生可以举一反三、一通百通,从而提高学习兴趣,提升思维能力,轻松学好数学。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改

以圆为载体的动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

2．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

1

（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B

2

的左侧），连接PA、PB．

动点问题（单个主动点或单条动线类型）

3x?3与y轴、x轴交于点A、B，直线l2经过点A和点3C（1，0），动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线BA运动，连结PC．

1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y?（1）设△APC的面积为S，点P的运动时间为t秒，

求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与AOC相似？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． l2 A P B O y l1 C x

1

动点问题（单个主动点或单条动线类型）

2(10河北一模)如图，直线y＝kx＋b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止． （1）求直线AB的解析式；

（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与

t之间的函数关系式；

（3）当S＝12时，在坐标轴上是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

2

y B P O A x 动点问题（单个主动点或单条动线类型）

3（11厦门）如图，在四边

专题：动点问题(一)A版

动点问题（一）以三角形为主，初二上学期期末考试难点； 动点问题（二）以四边形为主，有大量的动点问题，初二下学期期中、期末考试难点、热点；（春季课待续） 动点问题（三）为大综合，包含几何与函数的结合，是中考和模拟的热点。 题型一：因动点产生全等三角形问题

（14年门头沟期末改编）如图，已知△ABC中， A点D为AB的中点．

（1） 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在

线段CA上由C点向A点运动．

① 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是

否全等，请说明理由；

② 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，

能够使△BPD与△CQP全等？

（2） 若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，

都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

AC厘米， BC厘米，

BADQPC

题型二： 因动点产生等腰三角形问题

（2013大兴期末）如图，在四边形ABCD中，?DAB?90?，AB＝4，AD＝3，动点M从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A

动点问题

八年级上册

1. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

2、如图，在梯形ABCD

中，AD∥BC，AD 3，DC 5，AB B 45 ．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

C

动点问题

3如图，梯形ABCD中AD//BC， ∠B=90 °AB=14cm，AD=15cm,BC=21cm，点M从A点开始，沿AD边向D运动，速度为1cm/s，点N从点C开始沿CB边向点B运动，速度为2cm/s，设四边形MNCD的面积为S。

（1）写出面积S与时间t之间的函数关系式。

（2）t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？

（3）t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？

A

B

4. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，A

动点问题（与圆相关）

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4）．动点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？

（2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

y

C B

Q

O P A x

y C B O A x 备用图 1

y C B O A x 备用图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位的速度向点B运动，动点N沿BC →CD边以每秒 为t（s）．

（1）当t为何值时，MN∥BC ？

（2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证：点