圆锥曲线定比分点弦问题

一、圆锥曲线的中点弦问题：

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以

为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为

中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的

弦所在直线的斜率k=

。比如：

①如果椭圆是 （答：

弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程

）；

②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中

点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：

）；

③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对

称（答：

）；

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、

！

对称问题时，务必别忘了检验

二 圆锥曲线的几何性质：你了解下列结论吗？

（1）双曲线

的渐近线方程为

；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为

为参数，≠0）。

如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______（答：

）

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相

应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛

关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。 例1 过椭圆

164

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

xx8(2k2 k)1 2 4k2

1

， x2 又M为AB的中点，所以

1 x24(2k2 k)

4k2 1

2， 解得k 1

2

，

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1 x2 4，y1 y2 2，

又A、B两点在椭圆上，则x2

1 4y2

2

2

1 16，x2 4

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。

背景知识

已知圆C：x2+y2= r2(r>0),点A(x0, y0)是圆C上一点，求以点A 为切点的切线方程。

分析：易知以A(x0， y0)为切点的直线方程为：x0x+y0y=r2(r>0).

（2011年江西高考理科第14题）

问题1：若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，

）作圆x2+y2=1的切线，切

点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

解：设A（x1，y1） B(x2，y2)

∵点A、B在圆x2+y2=1上，则

过点A（x1，y1）的切线方程为L1：x1x+y1y=1.

过点B（x2 ，y2）的切线方程为L2：x2x+y2y=1.

由于L1，L2经过点（1，

）则x1+y1=1 x2+y2=1

故（x1，y1）（x2，y2）均为方程x+

y=1的解。

∴经过A、B两点的直线方程AB：x+

y=1

设椭圆的右焦点为（c ,0）,上顶点为（0 ,b）

由于直线AB经过椭圆右焦点

切点弦的相关问题

21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）

实验成果 动态课件 椭圆中心O与点P(x0,y0)的连线交椭圆于N，交切点弦于点2Q，则|OQ||OP|?|ON|.且Q点平分切点弦AB（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P与直线Ax0x?By0y?1沿直线PO作反向运动.

备用课件 双曲线中心O与点P(x0,y0)的连线交双曲线于N，交切点弦于点Q，则|OQ||OP|?|ON|.且Q点平分切点弦2AB（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P与直线Ax0x?By0y?1沿直线PO作反向运动(直线保持平行).备用课件

设过点P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N，交切点弦于点Q，则|O?Q||O?P|?|O?N|.且Q点平分切点2弦AB（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P与直线y0y?p(x?x0)作反向运动(直线保持平

问题探究21 已知椭圆

x2行).备用课件 8?y24?1，过原点O(0,0)，点T(2,1)的直线l交椭圆于点N，过点T的中点弦

2为AB，过A，B分别作切线l1,l2且交于点P，求证：|OT||OP|?|ON|.

22．椭圆、双曲线、

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点