离散数学集合论知识点总结

离散数学四大核心：代数系统、集合论、数理逻辑、图论。

第二篇 集合与关系

集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。

随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。

现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科

第二篇 集合与关系

集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。

随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。

现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学

离散数学四大核心：代数系统、集合论、数理逻辑、图论。

第二篇 集合与关系

集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。

随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。

现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科

第二篇 集合与关系

集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。

随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。

现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学

集合论练习题

一、选择题

1．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．

A．{2}?B B．{2, {2}, 3, 4}?B C．{2}?B D．{2, {2}}?B 2．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ ）． A．B ? A，且B?A B．B? A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 3．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．

A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 4.已知A?B={1,2,3}, A?C={2,3,4},若2? B,则（ ）

A． 1?C B．2?C C．3?C D．4?C

总结 离散数学知识点

第二章 命题逻辑

1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；

5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；

7.n个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~2n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；

8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；

9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则

①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；

第三章 谓词逻辑

1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;

3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；

一．列式题。用谓词表示法表示如下集合： 1． 所有偶数组成的集合A

A={x| x∈Z ∧ x mod 2 =0}. 2． 所有奇数组成的集合B

B={x| x∈Z ∧ x mod 2 =1}. 3． 10的整倍数组成的集合A

A={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}. 4． 5的整倍数组成的集合B

A={x| x∈Z ∧x mod 5 =0}.

5． 方程x2-1=0的所有实数解的集合B。

B={x|x∈R ∧x2-1=0}

6． 小于5的非负整数组成的集合A：A={x | x ∈ N ∧ x < 5 }.

二．判断题 1．（ F ）包含三个元素的集合A表示成：A=（1，2，3）。 2．（ F ）集合A ={1，2，3}与集合B ={2，3，1}是两个不同的集合。 3．（ T ）R=Φ是一个二元关系。 4．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>}，则R是A上自反的关系。 5．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>}，则R是A上对称的关系。 6．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<1, 3>}，则R是A上反对称的关系。 7．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>,<2, 2>}，则R是A上

离散数学第一章知识点总结（仅供参考）

1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤：首先应是陈述句；其次要有唯一的真值。 例：（1）我正在说谎。

不是命题。因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题 （2）x-y ＞2。

不是命题。因为x, y的值不确定，某些x, y使x?y＞2为真，某些x, y使x?y＞2为假，即x?y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。因此x?y＞2的真假无法确定，所以x?y＞2不是命题。

2.命题可以分为两种类型：原子命题（不能再分解为更简单命题，又可称为简单命题）； 复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题） 3.命题常元：一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元

命题变元：如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元 注：当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派

4.联接词：（1）否定联

集合论部分

第三章、集合的基本概念和运算

3.1 集合的基本概念集合的定义与表示

集合与元素

集合 没有精确的数学定义

理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示

列元素法 A={ a, b, c, d }

谓词表示法 B={ x | P(x) }

B 由使得 P(x) 为真的 x 构成常用数集

N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、

实数和复数集合，注意 0 是自然数.

元素与集合的关系：隶属关系

属于 ，不属于

实例

A={ x | x R x2-1=0 }, A={-1,1}

1 A, 2 A

注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)，

x A和 x A 两者成立其一，且仅成立其一.

集合之间的关系

包含（子集） A B x (x A x B)

不包含 A B x (x A x B)

相等 A = B A B B A

不相等 A B

真包含 A B A B A B

不真包含 A B

思考：

康托尔集合论 集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。 康托尔集， 格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基