电子科大数值计算方法

数值分析实验作业

实验报告

一、实验内容:

（1）对高阶多多项式

20

p(x) (x 1)(x 2) (x 20)

(x k)

k 1

编程求下面方程的解

p(x) x

19

0

并绘图演示方程的解与扰动量 的关系。

（2）对n 2~20，生成对应的Hilbert矩阵，计算矩阵的条件数；通过先确定解获得常向量b的方法,确定方程组

Hnx b

最后，用矩阵分解方法求解方程组，并分析计算结果。 （3）对函数

f(x)

11 25x

2

x [ 1,1]

的Chebyshev点

xk cos(

(2k 1) 2(n 1)

)

k 1,2,...,n 1

编程进行Lagrange插值，并分析插值结果。

二、实验过程：

实验一： a. 实验方案：

先创建一个20*50的零矩阵X，然后利用Matlab中的roots（）和poly（）函数将50个不同的ess扰动值所产生的50个解向量分别存入X矩阵中。然后再将ess向量分别和X的20个行向量绘图。即可直观的看出充分小的扰动值会产生非常大的偏差。即证明了这个问题的病态性。

b. 实验程序： >> X=zeros(20,50); >> ve=zeros(1,21);

>> ess=linspace(0,0.00001,50);k=1;

数值分析实验作业

实验报告

一、实验内容:

（1）对高阶多多项式

20

p(x) (x 1)(x 2) (x 20)

(x k)

k 1

编程求下面方程的解

p(x) x

19

0

并绘图演示方程的解与扰动量 的关系。

（2）对n 2~20，生成对应的Hilbert矩阵，计算矩阵的条件数；通过先确定解获得常向量b的方法,确定方程组

Hnx b

最后，用矩阵分解方法求解方程组，并分析计算结果。 （3）对函数

f(x)

11 25x

2

x [ 1,1]

的Chebyshev点

xk cos(

(2k 1) 2(n 1)

)

k 1,2,...,n 1

编程进行Lagrange插值，并分析插值结果。

二、实验过程：

实验一： a. 实验方案：

先创建一个20*50的零矩阵X，然后利用Matlab中的roots（）和poly（）函数将50个不同的ess扰动值所产生的50个解向量分别存入X矩阵中。然后再将ess向量分别和X的20个行向量绘图。即可直观的看出充分小的扰动值会产生非常大的偏差。即证明了这个问题的病态性。

b. 实验程序： >> X=zeros(20,50); >> ve=zeros(1,21);

>> ess=linspace(0,0.00001,50);k=1;

《数值计算方法》

邹昌文编

2009年10月

上机实验指导书

“数值计算方法”上机实验指导书

实验一 误差分析

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

p(x) (x 1)(x 2) (x 20) (x k)

k 120

(1.1)

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

p(x) x19 0

(1.2)

其中 是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中x19的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：“roots”和“poly”。

u roots(a)

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

31、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2x?x??(x?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）k?1kk2、迭代格式。 ?x30?x?1?S(x)??1(x?1)3?a(x?1)2?b(x?1)?c1?x?3??23、已知是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

?lk?0nk(x)?( )，k?0?xlnkj(xk)?( )，当n?2时k?0?(xn4k2?xk?3)lk(x)?( )。

7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

????(x)k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为7、k1的正交多项

数值计算方法

?随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各咼輕院校数学、物理和井算*几应用专 ?工科本科生的专业基础课，也是工科矗究生

的学位必修课。

?数值分析或数值计算方法主要是研

究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法?对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时有十分

?计算机解决科学计算问题时经历的几个过 程

-实际问题——> 数学模型——> 数值计算方

法——> 程序设计——> 上机运行求出解

-实际问题——〉数学模型：由实际问题应用科

学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应

-数值计算方法——> 程序设计——> 计算结果

:

根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出

程序上机算出解，是计算数学的任务。

?数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论

-包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计 q寸间的最小（也就是计算费用），占用内存空

数学问题的数值解法例示

?例仁1

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

数值计算方法 黄云清编

数值计算方法

Project II solutions:

1.Give the formula of the following methods: Langerange Interpolation、Piecewise Linear Langerange Interpolation and Cubic Spline Interpolation

(1)Langerange Interpolation formula：

Ln(x) yili(x),

i 0n

li(x) (x x0)...(x xi 1)(x xi)...(x xn),i 0,1,...,n(xi x0)...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn)

其中基函数满足：

1,i j li(xj) 0,i j,i,j 0,1,...n

Piecewise Linear Langerange Interpolation formula： In yjlj(x),

j 0n

x xj 1,xj 1 x xj x xj 1 j x xj 1lj(x) ,xj x xj 1 xj x 0,x

Cubic Spline Interpolation：

S(x

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c

数值计算方法思考题

第一章 预篇

1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。

4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？

5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：

（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。

（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。

（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题

ax2 + bx + c = 0.

下面的公式是熟知的

?b?b2?4acx?.

2a

与之等价地有

x?

对于

2c?b?b?4ac2.

a = 1, b = -100 000 000 , c