数组矩阵向量的区别

R-3_向量、多维数组和矩阵

第三讲 R的数据结构(一) 向量、多维数组和矩阵 目的： 学习R中向量、多维数组和矩阵的表示方法 内容： 1. 数据表示 2. 实例 3. 作业

R-3_向量、多维数组和矩阵

R是基于对象的语言 基本的数据类型，有向量、矩阵、列表等 复杂的数据对象，有数据框对象，时间序列对象， 模型对象，图形对象，等等

R表达式可以使用常量和变量 变量名： 由字母、数字、句点组成，第一个字符必须是字母，长度没有限制，但区分大小写 特别要注意句点可以作为名字的合法部分

R-3_向量、多维数组和矩阵

常量 常量为逻辑型、数值型和字符型三种 实际上数值型数据又可以分为整型、单精度、 双精 度等 例如，123,123.45,1.2345e30 是数值型常量， “Weight”,“李明”是字符型 逻辑真值写为T或TRUE(注意区分大小写，写t或true 都没意义),逻辑假值写为F或FALSE 复数常量就用3.5-2.1i这样的写法表示

R的数据可以取缺失值，用符号NA代表缺失值 函数is.na(x)返回x是否缺失值(返回值T或F)

R-3_向量、多维数组和矩阵

向量(Vector)与赋值向量: 有相同基本类型的元

第 3 章 数值数组及向量化运算

本章内容：

一、 二维数值数组的创建、寻访、运算和向量化编程； 二、 常用标准数组生成函数和数组构作技法；

三、 非数NaN、“空”数组概念和应用；关系和逻辑操作。

符号——数值；连续——离散化

3.1 数值计算的特点和地位

数值计算以有限精度数字为基本操作元素，所以它只能用有限长度的数据，以有限的精度，表现有限时间和范围内的函数关系。

? 进行数值计算，必须首先确定一组自变量采样点。把连续变量离散化。

? 执行数值计算的表达式都是在已知的数值点上进行，数值计算结果也是离散的。

? 一般说来，直接观察数据，难以抽象出这组数据的内涵；而离散数据的图形曲线可以

形象地体现数据间的函数关系。但要注意：图形展示的函数性状仅在自变量的取值区间有意义，任何对区间外的延伸和猜测都需特别谨慎。

【例3.1-2】已知

f(t)?e?sin(t)，求s(x)?? 4 0f(t) dt。

（1）符号计算解法

syms t x

ft=exp(-sin(t)) sx=int(ft,t,0,4) sv=vpa(sx,6) ft =

exp(-sin(t))

Warning: Explicit integral

matlab

§1.4 向量和矩阵范数 向量范数 ( vector norms ) 定义1 定义 ：

(3) || x + y || ≤|| x || +|| y ||常用向量范数： 常用向量范数：v || x || 1 =

v v v v (1) || x || ≥ 0 ; || x || = 0 x = 0 v v (2) ||v x || =| λ |v|| x || v 对任意 λ∈C λ v

Rn空间的向量范数 空间的向量范数

v v n || · || ,对任意 x, y ∈ R 满足下列条件 对任意

Σi=1

n

| xi |

v || x || =2

Σ

n

| x |i

2

i=1

v || x || ∞ = max | x i |1≤ i ≤ n

matlab

主要性质 主要性质性质1:‖-x‖=‖x‖ 性质1:‖ 1: 性质2: ‖x‖-‖y‖|≤‖x性质2:|‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是 上向量x的连续函数. 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 上任意两种范数， 范数等价: ‖ ‖ 常数 C1、C2 >

第一章 MATLAB矩阵运算与数组运算

第一章 矩阵运算与数组运算

MATLAB中最基本的数据对象就是数组或矩阵，标量可看作是1*1 的矩阵，向量可看作是l*n或n*l的矩阵．一维数组是向量，二维数组便是矩 阵，还有三维甚至更高维的数组。标量运算是数学的基础，然而，当需要对多个 数执行同样的运算时，采用数组或矩阵运算将非常简洁和方便．

1．4．1 创建矩阵

1．直接定义 例子

键入:

A＝[1 2 3；4 5 6]

输出：

A＝

1 2 3

4 5 6

这里A为一个2行3列的数组或矩阵．空格或逗号用于分隔某一行的元素，分号表示开始新的一行．

键入：

A(2，3)＝0 ％将第2行，第3列的元素置为0．

输出：

A=

1 2 3

4 5 0

2．一维数组的简单构造

前面我们通过键人矩阵或数组中的每个元素来输人一个矩阵或数组，当数组中的元素有成百上千时，怎么办呢？对于一维数组有两种简单的输人格式。 例如，

X=0:0.1:1 ％从0到l，增量为0.1．

X=linspace（0，pi，11） ％11 个从 0到pi的等间隔数， 在MATLAB中这两种创建数组的方式是最常见的．

上述数组创建形式所得到的数组的元素之间是线性分隔的特殊情况，当

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征

第15章 求矩阵特征值和特征向量

幂 法

幂法规范化算法

1. 输入矩阵A、初始向量u，误差eps 2. k?1

3. 计算V(k) ?Au(k-1)

4. mk ?max(V), mk-1 ?max(V) 5. uk ? V(k)/mk

(1)

6. 如果| mk - mk-1|

注：如上算法中的符号max(V)表示取向量V中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。

(k)

(k-1)

(0)

规范化幂法程序

Clear[a,u,x];

a=Input[\系数矩阵A=\；

u=Input[\初始迭代向量u(0)=\； n= Length[u];

eps= Input[\误差精度eps =\；

nmax=Input[“迭代允许最大次数nmax=”]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},

Do[m1=Abs[x[[k]]];

If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[