基于一阶剪切变形理论的变曲率曲梁的几何非线性方程

第19卷第1期 2002年 2 月

文章编号：1000-4750(2002)01-001-08

工 程 力 学 ENGINEERING MECHANICS

Vol.19 No. 1 Feb. 2002

基于一阶剪切变形理论的 新型复合材料层合板单元

岑 松1，龙驭球2，姚振汉1

(1. 清华大学工程力学系，北京100084；2. 清华大学土木系，北京100084)

摘 要：基于一阶剪切变形理论(FSDT)，本文构造一种新型的20自由度(每结点5个自由度)，四边形复合材料层合板单元，适合于任意铺设情形的层合板的计算。它是按如下方式构造的：(1) 单元每边的转角和剪应变由Timoshenko层合厚梁理论来确定；(2) 对单元域内的转角场和剪应变场进行合理的插值；(3) 引入平面内双线性位移场来体现层合板面内与弯曲的耦合作用。本文单元，记为TMQ20，不存在剪切闭锁现象，在计算单层的各向同性板时可以退化为文[1]中优质的中厚板单元TMQ。在文[2]中将给出本文单元对于层合板问题的详细数值算例。

关键词：有限元；复合材料层合板；一阶剪切变形理论(FSDT)；Timoshenko层合梁 中图分类号：TB33, TU33 文献标识码：

第19卷第1期 2002年 2 月

文章编号：1000-4750(2002)01-001-08

工 程 力 学 ENGINEERING MECHANICS

Vol.19 No. 1 Feb. 2002

基于一阶剪切变形理论的 新型复合材料层合板单元

岑 松1，龙驭球2，姚振汉1

(1. 清华大学工程力学系，北京100084；2. 清华大学土木系，北京100084)

摘 要：基于一阶剪切变形理论(FSDT)，本文构造一种新型的20自由度(每结点5个自由度)，四边形复合材料层合板单元，适合于任意铺设情形的层合板的计算。它是按如下方式构造的：(1) 单元每边的转角和剪应变由Timoshenko层合厚梁理论来确定；(2) 对单元域内的转角场和剪应变场进行合理的插值；(3) 引入平面内双线性位移场来体现层合板面内与弯曲的耦合作用。本文单元，记为TMQ20，不存在剪切闭锁现象，在计算单层的各向同性板时可以退化为文[1]中优质的中厚板单元TMQ。在文[2]中将给出本文单元对于层合板问题的详细数值算例。

关键词：有限元；复合材料层合板；一阶剪切变形理论(FSDT)；Timoshenko层合梁 中图分类号：TB33, TU33 文献标识码：

《 计 算 方 法 》

期 末 论 文

论文题目 非线性方程的数值解法

学 院 专 业 班 级 姓 名 学 号 指 导 教 师 日 期

目 录

摘要 第1 章 绪论

1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章 非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法

2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值

摘要",

数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。

在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如",在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。

第1 章 绪论

可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法",step1.输入

计算方法课程实验报告

实验名称 非线性方程求根

班级 教师 动创新13 姓名 封敏丽 赵美玲 地点 学号 201302400104 数学实验中心 序号 评分 一、 实验目的 ① 掌握二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法； ② 了解迭代算法的设计原理及初值对收敛性的影响。 二、用文字或图表记录实验过程和结果 题目 求方程f(x)?x3?x2?3x?3?0在1.5 附近的根.（误差限为??1e?6,??1e?9） （1）编程实现二分法，并求解上述非线性方程的根（有根区间自己确定）。 （2）设计弦截法，计算原方程的根。 参考答案 原方程的根为x?1.732051 （1）有根区间取[1.5 2]； 用Matlab进行运算，先编写程序如下： f=input('输入函数f(x)='); qujian=input('输入区间='); err=input('输入误差='); a=qujian(1); b=qujian(2); yc=1; k=0;%计二分法的次数 while((b-a)>err&yc~=0); c=(a+b)/2; x=a;

非线性方程的数值解法

第三章 非线性方程(组)的数值解法

一．取步长h=1，试用搜索法确立f(x)=x3 2x 5含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于10 3。 【详解】

由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。f(0)= 5，

f(1)= 5，f(2)= 1，f(3)=16，因此，(2,3)中有一个正根。这就确立

了含根区间。

接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于10 3，计算结果如下表 迭代次数

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ak

bk

xk

2 2 2 2 2.0625 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938 2.0938

3 2.5000 2.2500 2.1250 2.1250 2.1250 2.1094 2.1016 2.0977 2.0957

2.5 2.250 0 2.125 0 2.062 5 2.093 8 2.109 4 2.101 6 2.097 7 2.095 7 2.094 7

非线性方程的数值解法

二．对方程f(x)=x2 2sinx 2=0，用二分法求其在区间[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01。 【详解】

用二分法求解方程在[1.5,2]内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

本文建立了一类新的解非线性方程一般高阶解法.与牛顿方法和其它方法相比,收敛阶数和效率指数均有所提高.

2 12生 0

青海师范大学学报 (自然科学版 )J u n l fQig a r lUn v riy Na u a ce c ) o r a n h iNo ma ie st ( t r l in e o S

第 2期

2 2 O1 N O. 2

一

类解非线性方程的高阶解法赵 宁(海民族大学数学与统计学院，海西宁青青 8 00 ) 1 0 7

摘

要：文建立了一类新的解非线性方程一般高阶解法 .牛顿方法和其它方法相比，本与收敛阶数和效率指数均有所提高

关键词：顿方法；线性方程；阶迭代方法牛非高中图分类号： 4 . O2 1 7文献标识码： A文章编号：0 1 5 2 2 1 2 0 1— 0 1 0—7 4 (0 2 0— 0 1 6 J

X_n-一 41一

~

一

一

一

() 3

一 z一 H c

其中 H( )为充分光滑的待定函数，书写方便，们记 H (,) H口 a, (,) H (,) x,为我 aa, (,) H口 a, aa,H (,) H (,) H (,) H (,)和 H一 a a a口， a口， a口， a口 (,)分别为 H,,, H

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

《数值方法》实验报告

1

非线性方程的数值计算方法实验

【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题

?0的求解问题，时，很多问题都可以归结为非线性方程f（x）无论在理论研究方

面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。综合当前各类非线性方程的数值解法，通过比较分析，二分法，迭代法，牛顿—拉夫森方法，迭代法的收敛阶和加速收敛方法，以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。

关 键 词 非线性方程；二分法；迭代法；牛顿-拉夫森法；割线法等。

一、实验目的

通过本实验的学习，应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识现实中非线性方程数值的意义；明确代数精度的概念；掌握二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法；培养编程与上机调试能力。

二、实验原理

二分法：单变量函数方程： f（x）=0

其中，f(x)在闭区间[a，b]上连续、单调，且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知，方程f（x）=0在（a，b）区间内有且只有一个解x*，二分法是通过函数在区间端点的符号来确定x*所在区域，将有根区间缩小到充分小，从而可以求出满足给定精度的根x*的近似值。 下面研究二分法的几何意义：

设a1=1, b1=b, 区间?a1,b1?，中点x1=

a1?b1及f?x1?，若f?x1?=0，则x*=x1，2若 f(a1)*f(x1)<0，令a2=a1，b2=x1，则根x*? [a2,b2]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[a2,b2]，若 f(b1)*f(x1)<0，令a2=x1，b2=b1，则根x*? [a2,b2]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[a2,b2],即f(a2)f(b2)<0,此时b2-a2=

b1?a1,对有根区间[a

《数值计算方法》实验报告

1

线性方程组AX=B的数值解法

1.实验描述

1．P93.1，2,3:通过矩阵可表示立方体的坐标位置，与另一矩阵相乘可实现立方体坐标位置进行变换

2．P108.1:不通过行变换就能解决三角线性方程。

3.p109.7：将单位矩阵表示成列矩阵，通过对目标矩阵分别求解得出列矩阵从而得到目标矩

阵的逆矩阵。

4. 120.3：将单位矩阵表示成列矩阵，通过分解成上下三角矩阵对目标矩阵分别求解得出列矩阵从而得到目标矩阵的逆矩阵。 5.p120.4:应用程序3.3求解基尔霍夫电流。 6.p129.4:应用高斯-赛德尔迭代法求解带状方程。

2.实验内容

P93.1.

单位立方体位于第一卦限，一个顶点在原点。首先，以角度再以角度

?沿y轴旋转立方体，然后6?沿z轴旋转立方体。求旋转后立方体的8个顶点的坐标，并与例3.10的结果比较。4它们的区别是什么？试通过矩阵一般不满足交换律的事实进行解释。使用plot3命令画出3个图形。 P93.2.

?设单位立方体位于第一卦限，其中一个顶点位于坐标原点。首先以角度沿x轴旋转立

12?方体，然后再以角度沿z轴旋转立方体。求旋转后立方体的8个顶点的坐标。使用plot3

6画出这3个立方体。 P93.