半正定二次型

浅谈正定二次型的判定方法

摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性

及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词 二次型 矩阵 正定性 应用

1 引 言

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义

设p是一个数域，aij?p，n个文字x1,x2,…，xn的二次齐次多项式

nn f(x1,x2,?,xn)?ax?2a12x1x2?2a13x1x3???ax?21112nnn??axxijii?1j?1j

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二次型

第2 6卷第 5期21年 1月 OO O

大学数学C0LLEGE ATH EM ATI M CS

Vo . 6。 . 12№ 5o c . O1 t2 0

浅谈正定二次型的习题课设计严文利(阴工学院数理学院，苏淮安 2 3 0 )淮江 2 0 3

[摘

要]在高等代数的实二次型内容中，定二次型占有特殊的地位 .文从概念的回顾、定二次型正本正

与正定矩阵的判断、二次型正定及矩阵正定的性质、它类型二次型四个方面来设计正定二次型的习题课，其 并通过具体例子说明例题、题精选的原则.习 [关键词]高等代数；次型；定二次型；二正习题课

[图分类号] G62 4中 4 .

[献标识码] C文

[章编号] 1 7一4 4 2 1 ) 50 7~4文 62l 5 (0 0 0— 160

高等代数是数学专业的一门专业基础课.于该课程中概念、理较多，由定因此学生在学习时往往感

到很抽象 .尽管教师在课堂讲授时分析了概念的内涵，绍了定理的推导思路，不少同学遇到习题特介但别是一些综合性的习题还是不知从何人手.以，高等代数中的重要内容安排一定的习题课还是很有所对必要的.我认为，习题课主要是问题答疑和习题探究，课堂讲授的补充与深化 .是习题课的核心是总结、巩固和提升已学知识.教师应

第六章 二 次 型

I 重要知识点

一、二次型及其矩阵表示

1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn

+a22x22+ … +a2nx2xn + … (3) +annxn2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵

?a11?a12A=?????a?1na12a22?a2n?a1n???a2n? ?????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：

?a11?a12f(x1，x2，…，xn)=( x1，x2，…，xn) ?????a?1na12a22?a2n?a1n??x1?????a2n??x2?T

=XAX

????????????ann???xn?其中 X=( x1，x2，…，xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简

二次型理论与代数学在中国的传播

论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

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论文题目作者姓名班级学号学科专业所在学院任课教师提交日期《高等代数学》

二次型理论与代数学在中国的传播

2014年11月20日

二次型理论与代数学在中国的传播

摘 要：高等代数是历史悠久、内容丰富的一门基础学科。二次型作为高等代数的重要内容, 已被广泛应用到很多实际问题中。二次型在中国的传播为代数学得发展奠定了基础。

关键词：二次型；代数学；传播

1 二次型的研究背景及近况

二次型的研究是从18世纪开始的，它是对二次曲线和二次曲面的分类问题进行讨论研究，将二次曲线和二次曲面的方程进行变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。更进一步来看，随着科学技术的迅速发展以及电子计算机的普及使用，线性代数

第五章

二次型

一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别1

一、二次型及其标准形的概念定义1 含有n个变量 x1 , x 2 , , x n的二次齐次函数2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn

2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

称为二次型.当aij是复数时 , f称为复二次型 ; 当aij是实数时 , f称为 实二次型 .

只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn 称为二次型的标准形(或法式). 例如2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3

为二次型的标准形. 只含有平方项的且形如以下二次型 2 2 2 2 f y1 y p y p 1 yr 称为二次型的规范形3

二、二次型的表示方法1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1

第五讲二次型

一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述

数域F上的n元二次齐次函数称为数域F上的n元二次型。有以下几种表述方式： （1）f(x1,x2,?,xn)???axxijii?1j?1nnj；

222（2）f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2?axxijii?jj；

T（3）f(x1,x2,?,xn)?XTAX，其中XT?(x1,x2,?,xn)，A?(aij)n?n，且A?A，并称A为二次型的矩阵。 2、矩阵合同

（1） 设A,B?Fn?n,若存在可逆矩阵T?Fn?n，使B?TAT，则称A与B是合同的。

T（2） 合同是矩阵间的一种等价关系。

（3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。

3、 标准形

222（1） 二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1称为标准形。 ?d2x2???dnxn（2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。

4、 复数域上二次型的规范形

222（1） 复二次型f(x1,x2,?,xn)?d1x1，其中di?1或0，称为复?d2x2???dnxn数域上的规范形。

（2） 任

第五 二次型 §1 二次型及其矩阵表示

一、二次型及其矩阵表示

设P是一个数域,一个系数在数域P中的x1,?,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?2a12x1x2???2a1nx1xn?a22x2???2a2nx2xn???annxn222(1)称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.

定义1 设x1,?,xn;y1,?,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn,??x2?c21y1?c22y2???c2nyn, (2) ???????????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn?称为由x1,?,xn到y1,?,yn的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式

cij?0,那么线性替换(2)就称为非退化的.

线性替换把二次型变成二次型.

令aij?aji,i?j.由于xixj?xjxi,所以二次型(1)可写成

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a12x1x2???a1nx1xn?a21x2x1?a22x2???a2nx2xn??????an1xnx1?an2xnx2???annxnnij2n22

???ai?1

第五 二次型 §1 二次型及其矩阵表示

一、二次型及其矩阵表示

设P是一个数域,一个系数在数域P中的x1,?,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?2a12x1x2???2a1nx1xn?a22x2???2a2nx2xn???annxn222(1)称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.

定义1 设x1,?,xn;y1,?,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn,??x2?c21y1?c22y2???c2nyn, (2) ???????????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn?称为由x1,?,xn到y1,?,yn的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式

cij?0,那么线性替换(2)就称为非退化的.

线性替换把二次型变成二次型.

令aij?aji,i?j.由于xixj?xjxi,所以二次型(1)可写成

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a12x1x2???a1nx1xn?a21x2x1?a22x2???a2nx2xn??????an1xnx1?an2xnx2???annxnnij2n22

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线性代数课件

第五章 习题课典 型 例 题一、二次型及其矩阵表示 二、化二次型为标准

三、正定二次型的判定

线性代数课件

一、二次型及其矩阵表示例1. 求实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) (ai1 x1 ai 2 x2 ain xn )i 1 n 2

的矩阵及秩.

解 a11 a21 令A an1 a12 a22 an 2 a1n A1 a2 n A2 ann An

线性代数课件

A1 n A2 则A ' A ( A '1 , A '2 , , A 'n ) A 'i Ai i 1 An 于是f ( x1 , x2 , , xn ) (( x1 , x2 , xn ) A 'i ) 2i 1 n

x1 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) A 'i Ai i 1 xn

线性代数课件

x1 x1 n x