应用弹塑性力学徐秉业答案

弹塑性力学习题解答

中国地质大学工程技术学院

力学教研室

2-3 解：

εx=(A2

0+A1x)z

ε2z=(B0+B1x)z+B2z3

γ2xz=x(C0+C1z)εy=γxy=γyz=0

2

εx

2

ε 2

z

z2

=0 x2

=2Bzγxz

1 x z

=2C1z 2ε2x 2ε z2

+z x2=

γxz

x z2B1z=2C1z

B1=C1

3-2 解：

σs=205MPa σ1=200MPa σ2=100MPa σ3= 50MPaTresca:σ1 σ3=250MPa>σs=205MPa

处于塑性状态。

Mises:(σ21 σ2)2+(σ2 σ3)2+(σ3 σ1)=95000MPa

95000MPa>2σ2s=84050MPa

处于塑性状态。

σs=205MPa σ3= 200MPa σ2= 100MPa σ1=50MPaTresca:σ1 σ3=250MPa>σs=205MPa

处于塑性状态。

Mises:(σ21 σ2)2+(σ2 σ3)+(σ3 σ21)=95000MPa

95000MPa>2σ2s=84050MPa

处于塑性状态。

2-1 解：

2u=z2+µ(x y2)2a; v=

弹塑性力学读书笔记

弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：

一、弹性力学

1、弹性力学的基本假定

求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的。就是说物体整个体

第一章 弹塑性力学基础

1.1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。

1.2 对照应力张量间的关系？

与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之

解：两者主方向相同。

。

1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义： 解：??的定义、物理意义：

；

1) 表征Sij的形式；2) ??相等，应力莫尔圆相似，Sij形式相同；3) 由??可确定S1：S2：S3。

1.4设某点应力张量力矢量

的分量值已知，求作用在过此点平面，并求该应力矢量的法向分量

。

上的应

解：该平面的法线方向的方向余弦为

而应力矢量的三个分量满足关系

而法向分量满足关系最后结果为：

1.5利用上题结果求应力分量为面解：求出

可求得

最终的结果为

时，过平

，及该矢量的法向分量

后，可求出

。

，

处的应力矢量及切向分量

及

。

，再利用关系

1.6 已知应力分量为三次多项式

，求

以及与

，求

，其特征方程为

。如设法作变换，把该方程变为形式

的关系。

解：求主方向的应力特征方程为

式中：

是三个应力不变量，并有公式

代入已知量得为了使方程变为关系

形式，可令代入，正好项被抵消，并

本教材习题和参考答案及部分习题解答

第二章

2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkAjk，(3)eijpeklpBkiBlj。 答案 (1)?pi?iq?qj?jk??pk;

答案 (2)epqieijkAjk?Apq?Aqp;

解：(3)eijpeklpBkiBlj?(?ik?jl??il?jk)BkiBlj?BiiBjj?BjiBij。

2.2证明：若aij?aji，则eijkajk?0。

（需证明）

2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：

a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?c?aiaiaibiaici?a2a3?证：因为??b??ab1c1?iaibibib?????a1icib2b?13ab2c?2??ciaicibi??b1cici???c1c2c??23????a3b?， 3c3??所以

?aiaiaibiaici??a2a3??b1c1?a1a2a3a1b1det??biaibibib??det(?a1ici??b1b2b??a132b2c?2?b1b2b3a2b2??ciaicibicici??c2c??ab3c?)??c13????a33??c1c2c3

1、 b弹性力学和塑性力学的基本假设各是什么？

弹性力学：

(1).连续性假设：整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。

（2）线弹性假设：假定物体完全服从胡克定律，应力与应变空间成线性比例关系（正负号变化也相同）。

（3）均匀性假设：假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。

（4）各向同性假设：假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。

（5）小变形假设：假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体原来的尺寸。 塑性力学：

（1）材料是连续的、均匀的

（2）平均正应力（静水压力）不影响屈服条件和加载条件 （3）体积的变化是弹性的

（4）不考虑温度、时间因素对材料性质的影响

2、 圣维南原理

原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。

即由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零的力系），所引起的应变，在远离作用区的地方可以忽略不计。或者若把作用在物体局部表面的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替，则这种等效处理对内部应力应变状态的影响将随作用区的距

知识点

考试科目：弹塑性力学考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）———————————————————————————————

一．掌握如下理论要点：

1.弹性力学的基本概念，基本假设，弹性力学与材料力学的区别；

2.体力、面力、应力、应变、位移等物理量的定义以及正负规定，角标含义；

3.三大基本方程的物理意义和适用范围；

4.基本方程的张量表达式；

5.圣维南原理的基本概念和应用条件；

6.叠加原理的概念和适用条件；

7.应力张量和应变张量的分解表达式，体积张量和偏张量的物理意义。

二．平面问题复习要点

1.了解平面应力和平面应变问题；

2.了解八个基本方程与双调方程的关系；

3.边界条件：正确写出直角坐标和极坐标表示的平面问题的边界条件；并能写出次要

边界上的静力等效边界条件；掌握对称条件、位移单值条件的应用；

4.极坐标下轴对称问题的定义；

5.解题步骤和方法（掌握全部课堂例题和作业）。

三．空间问题复习要点

1．掌握等截面直杆扭转问题的基本方程和解题步骤；

2．了解薄膜比拟概念和应用；

3．会求解简单界面直杆和开口薄壁构件的扭转问题。

塑性力学

一．掌握如下基本理论和概念

1.区分弹性材料与塑性材料的几个要点；

2.典型金属材料单轴

应力应变关系

弹性模量 || 广义虎克定律

1.弹性模量

对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即

b 切变模量 切应力与相应的切应变之比,即

c 体积弹性模量 三向平均应力

与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即

d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε

1

的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即

此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.广义虎克定律

线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。

A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式） 对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、θ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律

应力应变关系

弹性模量 || 广义虎克定律

1.弹性模量

对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即

b 切变模量 切应力与相应的切应变之比,即

c 体积弹性模量 三向平均应力

与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即

d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε

1

的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即

此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.广义虎克定律

线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。

A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式） 对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、θ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律

第八章 能量原理及其应用

第八章 能量原理及其应用

弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。这些解法的依据都是能量原理。本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。

本章共讨论五个能量原理。首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。另外，还简单介绍最大耗散能原理。本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。

8.1 基本概念

1.1 物体变形的热力学过程

由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在

弹塑性力学2008级试题

一 简述题（60分） 1）弹性与塑性

弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。

塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变

形不能恢复残留下来的这一性质。

2）应力和应力状态

应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量?。 3）球张量和偏量

??m0 球张量：球形应力张量，即??????0中?m? 偏

0?m00?0?，其??m??1??3x??y??z?

量：偏斜应力

?xy张量

?xz，即

??x??m?Sij???yx??zx?

1

?y??m?zy???yz?，其中?z??m???m?13??x??y??z?

5）转动张量：表示刚体位移部分，即

?0????1??v?uWij?????2??y??x???1??w??u?2??x?z?1??u?v?????2??y?x?????????01??w?v?????2???y?z?1??u?w??????2??z?x?????1?v?w? ??????2??z?y????0??6）应变张量：表示纯变形部分，即

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