参数方程在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线参数方程的应用

课题 ：圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用授课人：马鞍山二中 陈昌富

提 出 宝 贵 意 见

欢 迎 光 临 指 导

圆锥曲线参数方程的应用

复习提问： 回答下列曲线的参数方程(1)圆：(x-x0)2+(y-y0)2= r2 x = x 0 + r cos θ y = y 0 + r sin θ

(θ为参数)

x = a cos θ y = b sin θ

x2 y2 (2)椭圆： 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线：2 b2 = 1, (a > 0, b > 0) a

x = a sec θ y = btgθ x = 2 pt 2 y = 2 pt

(4)抛物线：y2= 2px (p>0)

圆锥曲线参数方程的应用

例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( - θ )。 4 π 其中 = arctg 显然 - θ=2kπ+ k∈

直线方程横截式在圆锥曲线中的妙用

贵州省玉屏民族(高级)中学 (554000) 敖复文

在给学生讲解直线斜截式方程时，时有学生提问：既然可以用y轴上的截距表示直线方程（即斜截式），那么是否可以用x轴上的截距表示直线方程？当然答案是肯定的，不仅可以，而且它在圆锥曲线中还有着非常巧妙的应用。

已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，则其截距式方程为

xy

1（a 0,b 0） ab

可变形为y

b

○1 x b，即斜截式方程式 y kx b

a

其中k为斜率，b为y轴上的截距，且不受b 0的限制；当k 0时，方程为y a，表示平行于x轴的直线，缺点是不能表示垂直于x轴的直线。

还可变形为x 其中h

aa

2 y a，令h ，则为 x hy a ○

bb

1

，a为x轴上的截距，且不受a 0的限制；当h 0时，方程为x a，表k

示垂直于x轴的直线，缺点是不能表示平行于x轴的直线。

于是，在解题的过程中，可根据直线的位置状况自由地选择方程的形式：若根据题意直线不能垂直于x轴，可选择○1式；若根据题意直线不能平行x轴，可选择○2式。可见，方程○2与○1弥补了各自的缺陷，二者珠联璧合，形成了互补。在直线和圆锥曲线（特别是椭圆和抛物线）

浅谈圆锥曲线在天文学中的应用

广东省中山市大南中学数学科（528447） 潘又保

2007年4月嫦蛾一号顺利发射成功，为我国探索月球开辟了新的篇章。现假设嫦蛾一号沿椭圆轨道绕月球运行，月球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当嫦蛾一号离月球相距n万千米和

6??n万千米时，经过月球和嫦蛾一号的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求嫦蛾523一号与月球的最远距离。

【解析】本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路是：由直线与椭圆的关系，列出方程组，再求解，但运算量相对较大；故我们可以利用圆锥曲线第二定义求解。由椭圆的几何意义可知：只有当嫦蛾一号运行到椭圆的较远顶点时，嫦蛾一号与月球的距离最远。

解：建立如图所示直角坐标系，设月球位于焦点F(?c,0)处，

x2y2椭圆的方程为:2?2?1．

ab如图，由椭圆的几何意义可知

?xFA??3．

作AB?Ox于B，则FB?由椭圆第二定义可知：

13FA?n． 25?ca2n?(?c)??ac?2?6n?c(a?c?3n)?ac5?5②－①得

①

②

1c3n??n， 5a5?a?3c．

将a?3c代入①中得

18n?(9c?c)?c，

333?c?n．

83

2010届高考数学复习 强化双基系列课件

《圆锥曲线 -轨迹方程》

基本知识概要：一、求轨迹的一般方法： 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如 圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参 数),使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

62

圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

我花了很多时间修改格式和内容，请你在这篇文章的基础上做改动。 文章结构基本合理，第二部分的内容显得十分单薄，看能否再加上一些内容，使其更加丰富；

我已经修改了中文摘要和关键词，请你将其翻译成英文的； 参考文献的格式不对，一一对照修改。

参考文献在文中的引用没有体现出来：参考文献在文中出现的地方用上标

予以标明，序号用加方括号的阿拉伯数字表示（如[1][2][3]），列于正文文末。如，定理1??完毕[3].参考文献的每个标号在文中至少（只需）出现1次，出现顺序必须是[1][2][3]?，如需帮助请呼组长

我对格式做了很大的调整，还有一些需要你自己完成：

文中的以字母表示的点，数据等等数学表达式，全部在数学公式编辑器中完成，但是文字不能在数学公式编辑器中编辑；

在公式编辑器中的字母的格式F是错的，应该改为F，将其选中后在样式中再点击一次“数字”，格式就对了！ 小括号不用公式编辑器中的模版??，直接在键盘上输()；中括号即闭区间符号

也不用公式编辑器中模版??，也直接在键盘上输[]；否则打印出来的效果很怪异，一眼就被检查人员看出来了；区间括号中的逗号,,改为，改不来就把这个，复制过去；

我已经修改了一部分，实在是太多，没有时间帮你了，你自己再一一对照

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

难点23 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●难点磁场

x2y2?1.(★★★★★)双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|4b2成等比数列，则b2=_________.

2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

●案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该双

名思教育-----我的成功不是偶然的

名思教育个性化辅导教案 学生: 教师: 日期: 班主任: 时段:

课题 教学目标 圆锥曲线与方程一 圆锥曲线基本概念与性质 重难点透视 数形结合思想，模拟简化 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点 圆锥曲线基本概念与性质 圆锥曲线解题方法 例题精讲 预估时间 30分钟 30分钟 60分钟 掌握情况 教学内容 一、 本章知识网络结构： 【典型例题】 1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。 例1 已知l1:2x?m2y?2m?0与l2:y??3x?6，若两直线平行，则m的值为 _____． 例2 经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是 ． 2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系. 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，例3 已知圆的方程为x?y?6x?8y?0．设该圆过点(3，则四边形ABCD的面