数列的裂项求和公式

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数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-

求数列通项公式的常用方法

类型1、

an?1?an?f(n)型，（f(n)可求前n项和），

?a1?(a2?a1)????(an?an?1)求通项公式的方法称为累加法。

{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

利0用an例.已知

解：

an?an?1?2(n?1)0

an?1?an?2?2(n?2)

0

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

0

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

2a?n?n?1 n∴

变式1.已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

变式3. 已知数列{an}中, a1?1,an?3n?1?an-1(n?2)求数列?an?的通项公式.

1n(n?1)变式4. 已知数列

?a?满足an1?1，

an?1?an?，求

?an?的通项公式。

1

类型2、

an?1?f(n)?an型。

f(n)是常数时，可归为等比数列。

f(n)可求积，利用恒等式a?aa2a3???an(a?0,n?2)求通项公式的方法称为

n1na1a2

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

数列通项公式的求法

一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， （2）1,2（10）a, b, a, b, a, b, a b 0

1

24916

,3,4, （3）1,510172

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2nn2

; （4）an ( 1)n 1 ; （3）an 答案：（1）an 10 1 （2）an n 2 n 1n 1n 1

n

n n 1

（5）an= 6）an=

2

1

n

8 1 an= 1 （8）an 6n 5 （7）n

9 10

n

1

2

n 1

1

9）an

1

n 1

1

2n

（10）an

1

n 1

1

2

1 1 a b

2

n(a1 an)n(a2 an 1)n(a3 an 2)n(n 1) na1 d 2222

二、公式法1、等差数列求和公式：Sn

(q 1) na1 n

2、等比数列求和公式：Sn a1(1 q)a1 anq

(q 1)

1 q 1 q

s1,n 1

3、 an

S S,n 2n 1 n

例2： 1. 等差数列 an 是递

专题6.1 数列的通项公式与求和

【三年高考】

1. 【2017课标3，文17】设数列?an?满足a1?3a2?（1）求?an?的通项公式； （2）求数列??(2n?1)an?2n.

?an?? 的前项和.

?2n?1??(2n?1)an?2n，①

【解析】（1）∵a1?3a2?∴n?2时，a1?3a2???(2n?3)an?1?2(n?1)② ①-②得，(2n?1)an?2，an?（2）由（1）∴

22，又n?1时，a1?2适合上式，∴an?. 2n?12n?1an211， ???2n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1Sn?.

aa1a21111112n????n?(1?)?(?)???(?)?1??352n?13352n?12n?12n?12n?12.【2016高考上海文科】无穷数列?an?由k个不同的数组成，Sn为?an?的前n项和.若对任意n?N，Sn??2,3?，则k的最大值为________.

?【答案】4

2时，若Sn?2，则Sn?1?2，于是an?0，若【解析】当n?1时，a1?2或a1?3；当n…Sn?3，则Sn?1?3，于是an?0.从而存在k?N?，当n…k时，ak?0.其中数列?an? ：

2,1,?1,0,0

数列中裂项相消的常见策略

化娟 （甘肃省临泽一中 734000）

裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.

1 利用分式的通分进行裂项

通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用

1111?(?)进行裂项.

n(n?k)knn?k111?????＿ 1?21?2?31?2?3???n例1 求和1+

分析 因为

121??1??2???，

1?2?3???nn(n?2)nn?1??1111111?2n ??????????22334nn?1?n?1所以 原式=2?1?例2

??已知等差数列?an?满足： a3=7,a5+a7=26, ?an?的前n项和为Sn

（1） 求a4及Sn （2） 令bn?1?(n?N),求数列?bn?的前n项和为Tn. 2an?1分析 （1）略.

2(2)由an?2n?1，得an?1?4n(n?1),

从而 bn?1111?(?),

4n(n?1)4nn?111111111n(1???????)=(1?)=.

求数列通项公式，关键是观察已知“递推式的形式”，进而决定选择什么方法求通项。

数列求和问题，关键是观察所求出通项公式的形式，进而决定选择什么方法求和。

几种常见的数列的通项公式的求法

【一、观察法】关键是找出各项与项数n的关系

例1．根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）1,2,3

n

1245916

,4, （3）1,1017

2

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2

n答案：（1）an 10 1 （2）an n （3）an 2; （4）an ( 1)n 1 n. ;

n 1n 1n2 1

【二、定义法】已知数列类型、或者是能判断出数列类型（此方法常考）

例2．等差数列 an 是递减数列，且a2 a3 a4=48，a2 a3 a4=12，则数列的通项公式是例3．在各项为负数的数列{an}中，已知2 an=3 an+1，且a2a5=例4．已知a1=1,且数列{1

1

an 1

2

2

82n-2.数列{an}的通项公式是 －（） 273

}是公差为2的等差数列,则{an}的通项公式为

例5．（1）数列{an}中,an+1=an+2 且an>0，a1=2，求an

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

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数学是中职必修课程之一,对学生将来的就业和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前项和公式则是等差数列中的一个重要公式。作者围绕《等差数列的前n项和公式(一)》这节课的教学设计说明,通过试讲及修改的全过程,谈谈在新课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。

.

_

等差数列求和公式的教学反思杜莹梅(苏省丰县中等专业学校，苏丰县江江摘要：学是中职必修课程之一，学生将来的就业数对和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一等差数列的前项和公式则是等差数列 中的一个重要公式。者围绕《差数列的前 n作等项和公式 ( )一》这节课的教学设计说明，过试讲及修改的全过程，谈在新通谈课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。 关键词：差数列求和公式公式推导教学反思等

210 ) 2 7 0

二、学重难点教 ( )学重点一教1究并获得等差数列的前n和公式： .探项 2等差数列前 n和公式的初步应用学难点。 .项 ( )学难点二教“尾配对法”推导方法。首一

高中阶段数学新课程标准要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重培养学生的数学思维。教师不仅要关注学习结果，而且要关注学生的数学学习过程。在教学过程

高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法

题目

高考要求

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列

的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的

动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳

数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数

因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性

数列{an}前n 项和Sn与通项an an=

S1,n 1 Sn Sn 1,n 2

求通项常用方法

①作新数列法作等差数列与等比数列 ②累差叠加法最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+ +(a2－a1)+a

③归纳、猜想法

数列前n项和常用求法

①重要公式 1+2+ +n=

12

n(n+1)

16

12+22+ +n2=

n(n+1)(2n+1)

14

13+23+ +n3=(1+2+ +n)2=n2(n+1)2

②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn

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题目

高考要求

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列

的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的

动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳

数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数

因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性

数列{an}前n 项和Sn与通项an an=

S1,n 1 Sn Sn 1,n 2

求通项常用方法

①作新数列法作等差数列与等比数列 ②累差叠加法最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+ +(a2－a1)+a

③归纳、猜想法

数列前n项和常用求法

①重要公式 1+2+ +n=

12

n(n+1)

16

12+22+ +n2=

n(n+1)(2n+1)

14

13+23+ +n3=(1+2+ +n)2=n2(n+1)2

②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn