空间解析几何的产生与发展

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶

空间解析几何试卷

一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上）

1. 设向量a???1,?1,0?,b??2,1,1?，则a在b上的射影是_____________,a是_______________.

2. 设向量a??4,?5,3?,向量b与a共线，反向且模为252,那么向量b的坐标是 ________________.

1,1,1?,b??x,2,3?, 如果a,b垂直, 那么x=_________. 3. 已知向量a??1,0,?1?,b??2,3,0?,c??0,1,2?，则由这3个向量张成的平行六面4. 已知向量a???????????????????体的体积是_________.

y?1xz?1?3?z与直线?1?y? 间的距离是_____________. ?22?2x?ayz?? 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b的值分别是6. 若直线3215. 直线x?2?______________.

?x?y?1?07. 经过直线?且与直线x?y?2z平行的平面的方程是

x?y?z?2?0?_________________.

?x2?y2?z?08. 空间曲线?在x0y坐标面上的射影曲线和射影柱面的方程

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有

第七章 向量代数与空间解析几何（1，2）

陈建英 上饶职业技术学院

第一节 向量及其线性运算（1、2）

教学目的：理解空间直角坐标系的概念;点的坐标；掌握空间两点的距离公式. 教学重点：空间中的点与三个有序实数的一 一对应关系 教学难点：点的坐标是空间点在坐标轴上的投影 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

立体几何中长方体的对角线计算公理及其常用的公理。 二、新授课

第一节向量及其线性运算 一﹚空间直角坐标系

1．空间直角坐标系Oxyz的概念，如（图7-1）

（1）坐标轴：横轴X轴、纵轴Y轴和

竖轴Z轴三条。

右手法则（遵守右手法则时各种坐标系的画法） 点O称为坐是原点

（2）坐标面：xOy面、yOz面和zOx面。 （图7-1） 2．空间内点的坐标，如（图7-2） （1）M在坐标轴上的投影； （2）点M的坐标M(x,y,z)；

例1 作出点P（2，-3，4）在坐标轴上的投影。

例2求点M（-1，3，-2）在各坐标轴上的投影及在各坐标面上的垂足的坐标。

金陵科技学院试卷

2013 /2014 学年 第1学期

共6页 第 1 页

课程所属部门： 公共基础课部 课程名称： 线性代数与空间解析几何 课程编号： 0701120117

考试方式： （A、闭）卷 使用班级： 全校 学院 公办统招 班

命 题 人： 教研室（系）主任审核： 主管领导批准：

班级： 学号： 姓名：

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 本题 得分 总分 一、 填空题（本题共11空，每空2分，共22分） 1、 设A为3阶方阵，且A?3，则3A? ， A?1? ，A*? . 2、 过点(1,2,3)且垂直于平面2x?3y?5z?7的直线方程为:

向量代数与空间解析几何 *.* 向量代数的几个注意点

① 向量平移后，向量的坐标不变，这是因为向量的模和方向都不变

② 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影（即向量的坐标）不同，前者是向量，后者是数量。

????③ 在向量代数中，若a?b?0, 则a;b中不一定有零向量.

?????? 若a?b?a?c,a?0 则c,b不一定相等.

④ 两向量的夹角指两向量正方向的夹角，其限制范围

??⑤ 两非零向量垂直 ?ab?0?0,??

，

??⑥ 两非零向量平行?a?b?0或对应坐标成比例，

⑦ 在解向量方程时，注意：

a）

由于向量没有除法运算，所以在方程中不能除以非零向量；

b） 向量的“乘法”由向量积与数量积之分，还有混合积； c） 向量积不满足交换律；

d） 向量积的模可计算面积，混合积可计算体积及向量共面。

*.* 空间解析几何的几个注意点：

1） 熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式 2） 点到直线距离 直线L过P点，

s为方向向量，

M到L距离

d?PM?ss

3） 公垂线长度 直线L1过P1，

s1 直线L2过P2，s2

d?P1P2?(s1?s2)s1?s2

空间解析几何的产生与数形结合思想

关键字:空间解析几何的产生与应用,数形结合的思想。

摘要:空间解析几何的产生于生活实践,来源于生活,并且广泛地应用于生活中。它的产生使空间问题与数学问题完美地结合在一起,空间问题数学化。数形结合的思想是很多繁杂的数学问题几何化立体化,清晰而明了,答案呼之欲出,有效地解决了数学问题。 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔

空间解析几何的产生与数形结合思想

关键字:空间解析几何的产生与应用,数形结合的思想。

摘要:空间解析几何的产生于生活实践,来源于生活,并且广泛地应用于生活中。它的产生使空间问题与数学问题完美地结合在一起,空间问题数学化。数形结合的思想是很多繁杂的数学问题几何化立体化,清晰而明了,答案呼之欲出,有效地解决了数学问题。 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔