学生t分布和正态分布

一、 正态分布

1.1概率密度函数

0.040.0350.030.0250.020.0150.010.0050-30y-20-100x10203040图1

正态分布的特征

（1）正态曲线在横轴上方均数处最高； （2）正态分布以均数为中心，左右对称；

（3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差S。μ是位置参数，当s固定不变时，μ越大，曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当μ固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭；

（4）正态曲线下面积的分布有一定规律：

①正态分布时区间（μ-1s,μ+1s）的面积占总面积的68.27%；②正态分布时区间（μ-1.96s,μ+1.96s）的面积占总面积的95%；③正态分布时区间（μ-2.58s,μ+2.58s）的面积占总面积的99%。

1.2、分布函数

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-100-80-60-40-200x20406080100p 图-2

正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它

不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即

概率密度）。

对于任何正态分布随机变

正态分布

一：正态分布的概念和和图形 正态分布的概率密度函数为： 1 ?( X ? ?)

f(X)?e2? ? 2 ? (-∞＜ X ＜+∞)

22 式中，有4个常数，??? 为总体均数，?? 为总体标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，其中?,π，e为固定常数，仅X为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数值。当给定?和?，就可绘制出一条正态分布曲线。正态分布曲线是一簇曲线。

二：正态分布图的特点 1 对称的钟型（在均数处最高） 2两侧逐渐下降 3两端在无穷远处与横轴无限接近。 三：正态分布的特征 f ? =1.5

特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X= 特征二 正态分布以均数为中心，左右完全对称。

特征三 正态分布取决于两个参数，即均数?? 和标准差??。

? 处。

??为位置参数，??

变大，则曲线沿横轴向右移动；?? 变小，曲线沿横轴向左移动。?

标准正态分布表

标准正态分布表怎么看

将未知量Z对应的列上的数 与 行所对应的数字 结合 查表定位

例如 要查Z=1.96的标准正态分布表 首先 在Z下面对应的数找到1.9 然后 在Z右边的行中找到6

这两个数所对应的值为 0.9750 即为所查的值

有谁知道，为什么标准正态分布表x的右边和下边都有值啊，难道一个x可以有两个值，看表是怎么看啊

那是一个精度问题，例如当x=0.12,那么应该先在x下方找到0.1，再在右边找到0.02，那么这两个同时对应的那个数就应该是你所要的！

标准正态分布的x值算出来介于两个之间,取哪一个。 概论值如果介于两个间,取更大的还是更近的啊

精度要求不是很高的话，在正中取中间值，靠一边取更近的，四舍五入。 精度要求高的话用插值函数，比如在两点间作一次函数逼近。

为什么u0.025等于1.96？标准正态分布表查不到这个结果啊。u0.05是多少？u0.1是多少？

因为P{Z<1.96}=1-0.025=0.975

u0.05=1.645

因为P{Z<1.645}=1-0.05 u0.1类似

统计学中，标准正态分布表中Z值代表意义

Z值只是一个临界值，他是标准化的结果，本身没有意义，有意义的在于在标准正态分布模型中它代表的概率值。通过查表便可以知道。

标准正态分布

期望值μ=0，即曲线图象对称轴为

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

随机变量及其分布

论文《正态分布的应用》

专业：光伏产品检测技术

学号：21号 姓名：王景卓

生活中诸多的经验和理论都表明，我们所处的环境中服从正态分布的事件是及其常见的。例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正态分布。所以在统计学中对于正态分布的使用越来越广泛，本文是对正态分布的应用做一些基本阐述。

正态分布，又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作

当

，读作服从

，或服从正态分布。

时，正态分布就成为标准正态分布

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

正态分布

正态分布一种概率

专题：超几何分布与二项分布

● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X的概率分布如何？

一、先考虑不放回抽样： 10从100件产品中随机取10件有C100种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到282件次品和8件正品”，依据乘法原理有C5C95种基本事件，根据古典概型，得 28C5C95P(X = 2) = 10则称X服从超几何分布 C100 类似地，可以求得X取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X的分布列 X 0 05C5C95P 10 C1001 14C5C9510 C1002 23C5C9510 C1003 32C5C9510 C1004 41C5C9510 C1005 50C5C9510 C100 二、再考虑放回抽样： 从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件2是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C10·52·958种基本事件，根据古典概型，得 C10·52·958252958P(X = 2) = ? C)()． 1010(100100100一般地，若随机变量X的分布列为 P(X

数学建模 数据统计与处理

一、图示法

1、P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3、直方图

判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4、箱式图

判断方法：观测离群值和中位数。

5、茎叶图

类似与直方图，但实质不同。

二、计算法

1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）

计算公式：

g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法

非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk （W 检验

1.若x?N(0,1), 求(I) P2).

解：⑴ P

=-[1- ]==.

(2)Rx>2)=1- P(x<2)=1- (2)==.亍

2利用标准正态分布表，求标准正态总体

(1)在 N(1,4)下，求F(3).

2 ,

(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)

3 1

解：(1) F (3) = (— -)= Q( 1)=

2

(2)F(y+b)= ( ------- ) =0( 1)=

F(y—b) )=0(—1 )=1 —①(1)=1— =

F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)

3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为1

=，求总体落入区

间(一，)之间的概率 40() =, 0()=]

解：正态分布的概率密度函数是f(x) (x )2

2 2

,x

)，它是偶函数,

1

说明”。，f(x)的最大值为f()=石

，所以c= 1,这个正态分布就是标准正态分布+

4.某县农民年平均收入服从 =500 入在500：520元间人数的百分比；

内的概率不少于，则a至少有多大？元，

(2)

[O

=200元的正态分布.(1)求此县农民年平均收如果要使此县农民年平均收入在( a, a )

()=,0()=]

解：设表示此县农民年平均收入, ~N(500,2002).

P(500

数学建模 数据统计与处理

一、图示法

1、P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2、Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3、直方图

判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4、箱式图

判断方法：观测离群值和中位数。

5、茎叶图

类似与直方图，但实质不同。

二、计算法

1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis）

计算公式：

g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U<U0.05=1.96，即p>0.05的结论时，才可以认为该组资料服从正态分布。由公式可见，部分文献中所说的“偏度和峰度都接近0……可以认为……近似服从正态分布”并不严谨。

2、非参数检验方法

非参数检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验（D检验）和Shapiro- Wilk （W 检验

品质分析基础 正态分布例题

授课教师： 授课教师：吴叶民

品质分析基础 正态分布例题

要解决这个项目，首先要回答以下几个问题： 要解决这个项目，首先要回答以下几个问题：(1)成年男子的高度服从何种分布？ 成年男子的高度服从何种分布？ 【 教材处理】 复习前面学过的几种常用分布， 并通过比较 教材处理 】 复习前面学过的几种常用分布 ， 其特点引入正态分布 如何表示该分布的概率密度和分布函数？ (2)如何表示该分布的概率密度和分布函数？ 教材处理】 正态分布的概率密度函数及其图象和性质、 【教材处理】①正态分布的概率密度函数及其图象和性质、 分布函数。 标准正态分布的概率密度函数、分布函数。 分布函数。②标准正态分布的概率密度函数、分布函数。 (3)怎样计算与这种分布相关事件的概率？ 怎样计算与这种分布相关事件的概率？ 教材处理】 【教材处理 】 先简单再复杂 ① 标准正态分布表与标准正态 分布概率的计算③标准化定理与一般正态分布概率的计算。 分布概率的计算③标准化定理与一般正态分布概率的计算。 (4)这种分布在哪些方面有实际应用？ 这种分布在哪些方面有实际应用？ 教材处理】实际应用举例。 【教材处理】实际应用举例。

品质分析基础 正态分布例题

复习：常