拉格朗日插值公式例题

拉格朗日插值绘制龙格现象

一、问题叙述

龙格反例1/(1+x^2)说明高次代数插值会导致误差很大。在区间[-5,5]上取等距结点构造10次拉格朗日插值多项式用计算机绘制图形显示龙格现象。 二、理论分析

1. 拉格朗日插值：假设有（n+1）个拉格朗日插值结点x0?x1??xn ，已知函数值

y0?f(x0),y1?f(x1),,yn?f(xn)

求n次多项式Ln(x)使其满足插值条件f(xj)?yj(j?0,1,,n)

类似于二次插值方法，根据插值结点构造(n+1)个拉格朗日插值基函数

lk(x)?(x?x0)?(x?xk?1)(x?xk?1)?(x?xn)

(xk?x0)?(xk?xk?1)(xk?xk?1)?(xk?xn)?1j?k每一个基函数都是零点多项式lk(xj)??,(j?0,1n)

0j?k?Ln(x)满足插值条件 Ln(xj)?f(xj)拉格朗日插值基函数：lk(x)??j?0j?kn(j?0,1,,n)

(x?xj)(xk?xj)拉格朗日插值多项式：Ln??lj(x)yj

j?0n2. 切比雪夫插值：n阶切比雪夫多项式定义为

拉格朗日插值多项式

数值计算方法上机报告

学院：计算机与通信学院班级：计算机科学与技术姓名：柴小辉学号：

拉格朗日插值多项式

05级3班 05240326

拉格朗日插值多项式

尽管满足插值条件Pn(xi)=yi (i=0,1,2,…,n) (1) 的n次插值多项式是唯一的，然而它的表达式却可以有多种形式。如果取满足条件

1 i＝k

lk(xi)= (i=0,1,2,…,n) (2) 0 i≠k

的一组n次的代数多项式l0(x)、l1(x)、…、ln(x)作为上述线性空间的基，容易看出

y0l0(x)+ y1l1(x)+ …+ynln(x)=∑yklk(x) (3)

必是一个不高于n次的代数多项式，而且它在节点x0、x1、…、xn 上的值依次是 y0、y1、…、yn也就是说，由n+1个n次代数多项式y0l0(x)、 y1l1(x)、 …、ynln(x)线性生成的多项式（3），就满足插值条件（1）的n次插值多项式。 满足

拉格朗日多项式插值法浅析

摘要

拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。

【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB

在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用y?f(x)来表示其某种内在规律的数量关系。但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映f(x)的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越

数值逼近课程的内容,用C语言实现的拉格朗日插值方法,可以随时增加一个点,也可以随时算出某个点的值,还可以算出插值多项式,功能很全

#include<stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define M 20;

int n=0;

int p=1;

int num=0;

double *x;

double *y;

double Calculate(double tt) ;

void Insert(int m);

void Print( );

void NewTon(int m)

{

double tt;

Insert(m);

Print( );

printf("是否继续进行插值、计算还是结束？继续插值请输入1，结束请输入0，求值计算请输入2；p=");

scanf("%d",&p);

printf("\n");

while(p!=0)

{

if(p==1)

{

printf("请输入再次插值点个数num=");

scanf("%d",&num);

NewTon(num);

}

else if(p==2)

{

printf("请输入x=")

插值和曲线拟合

摘要：本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

关键字：拉格朗日插值 曲线拟合 数值解 截断误差

一、问题描述与分析

已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin度。

1、插值法的概念

插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y?f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y??(x)，使函数在观

2?的数值解，并由余项公式估计计算结果的精9?6?4?3测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数在y??(x)点x处的值来估计未知函数y??(x)在x点的值。寻找这样的函数?（x），办法是很多的。?（x）可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；?（x）可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分

数值分析,拉格朗日插值法C语言的实现

实验 一 .拉格朗日插值法C语言的实现

1.实验目的：

进一步熟悉拉格朗日插值法。

掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。

2.实验要求：

已知：某些点的坐标以及点数。

输入：条件点数以及这些点的坐标 。

输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值 。

3.程序流程：

（1）输入已知点的个数；

（2）分别输入已知点的X坐标；

（3）分别输入已知点的Y坐标；

（4）通过调用函数lagrange函数，来求某点所对应的函数值。

拉格朗日插值多项式如下：

Ln(xj) yklk(xj) yjj 0,1,……n k 0n

其中lk(x)

(x x0)……(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xn)(xk x0)……(xk-xk-1)(xk-xk+1) …(xk-xn)k 0,1,……,n

程序流程图：

数值分析,拉格朗日插值法C语言的实现

↓

程序如下：

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <malloc.h>

float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日插值算法*/

浅析拉格朗日插值法的原理及其应用

寸吉林贝贫学院学报

年第

期

浅析

拉格朗日插值法的原理及其应用林在社会经济统计中,

秀

梅,

取得和掌握全面

、

真实

、

可靠的原始数据资料是极重要的。

是

进行科学的统计分析因以及其他各种情况

、

谁确的预测和正确的决策的基础经常出现所需资料的空白或缺少。

但是在实际中,

,

由于历史的原、

,

,

这些缺少的资料有时是无法全面

重新获得的行统计分析

,

这便给科学的统计分析带来影响。

为了补全缺少的资料,,

紧统地进,

,

在社会经济统计中经常采用抓值估计法,

最常用的方法有内插法,,

线性插。

值法和拉格朗日插值法内插法和线性插值法方法简单意义明确便于掌握和使用而拉格朗日插值法计算比较复杂很多统计学原理论著中只列出公式没有说明它的原理。

这样。

,

由于读者对其意义不甚理解

,

往往不易接受这种方法

,

从而影响了在实际中,

的使用‘夕

本文试图结合实际阐明拉格朗日插值法的原理及其应用』

。

『』一旧吸,口乒屯飞毛毛飞飞毛几几三毛飞飞云毛毛几飞几飞飞飞毛毛毛飞飞毛飞‘』

川铲今

小费用下,

设有一个年产,

吨的食品加工厂,、

需要统计其生产。

分析一个实际问题,

但由于该厂各项资料不全

无法统计

在这种情况

性

屯、毛一长砚认

长毛

统计部门收集了设备

生产能力和该厂大致相同的五

个食品加工厂的产量与生产费川资料

/* 《计算方法》拉格朗日插值公式 */

#include \#include \

int main(void) {

float X[20],Y[20],x; int n;

void input(float *,float *,float *,int *); float F(float *,float *,float,int); input(X,Y,&x,&n);

printf(\

getch(); return 0; }

void input(float *X,float *Y,float *x,int *n) {

int i;

printf(\请输入插值节点的个数:\ scanf(\

printf(\请输入各个插值点的坐标:\\n\ for(i=0;i<*n;i++) {

scanf(\ }

printf(\请输入插值点X=\ scanf(\}

float F(float *X,float *Y,float x,int n) {

int i,j;

float Lx,Fx=0; for(i=0;i

/* 《计算方法》拉格朗日插值公式 */

#include \#include \

int main(void) {

float X[20],Y[20],x; int n;

void input(float *,float *,float *,int *); float F(float *,float *,float,int); input(X,Y,&x,&n);

printf(\

getch(); return 0; }

void input(float *X,float *Y,float *x,int *n) {

int i;

printf(\请输入插值节点的个数:\ scanf(\

printf(\请输入各个插值点的坐标:\\n\ for(i=0;i<*n;i++) {

scanf(\ }

printf(\请输入插值点X=\ scanf(\}

float F(float *X,float *Y,float x,int n) {

int i,j;

float Lx,Fx=0; for(i=0;i

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

姓名：樊元君 学号：2012200902 日期：2012.10.25

1.实验目的：

掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

2.实验内容：

分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。 已知下列函数表

求x=0.5635时的函数值。

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

3.程序流程图：

● 拉格朗日插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

●牛顿插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

4.源程序：

● 拉格朗日插值法：

function [] = LGLR(x,y,v)

x=input('X数组=：');

y=input('Y数组=');

v=input('插值点数值=：');

n=length(x);

u=0;

for k=1:n

t=1;

for j=1:n

if j~=k

t=t*(v-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

u=u+t*y(k);

end

disp('插值结果=');