信号与系统复频域分析

摘要

拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。 它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

第六章 习题

6.1 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．若L[f(t)]?F(s),则L[f(t?t0)]?e?stF(s) （ ）

02．L

?1?e?s??sin(t?1) （ ） ?2??1?s?1s(s?1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。（ ） 4．若已知系统函数H(s)?，激励信号为x(t)?e?2tu(t)，则系统的自由

响应中必包含稳态响应分量。 （ ） 5．强迫响应一定是稳态响应。 （ ） 6．系统函数与激励信号无关 （ ）

?6.2 求L[2???e?(?)d?]

t

6.3 已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（s）。

6.4 对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以x（t）作为激励，

第六章 习题

6.1 是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入×） 1．若L[f(t)]?F(s),则L[f(t?t0)]?e?stF(s) （ ）

02．L

?1?e?s??sin(t?1) （ ） ?2??1?s?1s(s?1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。（ ） 4．若已知系统函数H(s)?，激励信号为x(t)?e?2tu(t)，则系统的自由

响应中必包含稳态响应分量。 （ ） 5．强迫响应一定是稳态响应。 （ ） 6．系统函数与激励信号无关 （ ）

?6.2 求L[2???e?(?)d?]

t

6.3 已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（s）。

6.4 对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以x（t）作为激励，

《信号与系统》课程研究性学习手册

信号的频域分析专题研讨

【目的】

(1) 建立工程应用中有效带宽的概念，了解有限次谐波合成信号及吉伯斯现象。

(2) 掌握带限信号，带通信号、未知信号等不同特性的连续时间信号的抽样，以及抽样过程中的参数选择与确定。认识混叠误差，以及减小混叠误差的措施。

(3) 加深对信号频域分析基本原理和方法的理解。

(4) 锻炼学生综合利用所学理论和技术，分析与解决实际问题的能力。 【研讨内容】——基础题 题目1：吉伯斯现象 (1)以(C02?2?n?1Cn)/P?0.90定义信号的有效带宽，试确定下图所示信号的有效带宽N?0，

N2取A=1，T=2。

(2)画出有效带宽内有限项谐波合成的近似波形，并对结果加以讨论和比较。 (3)增加谐波的项数，观察其合成的近似波形，并对结果加以讨论和比较。

x(t)A/2tAx(t)?T0?T0/2?A/2T0/2T0?T0T0/2T0t(a) 周期矩形信号 (b) 周期三角波信号

【知识点】

连续周期信号的频域分析，有效带宽，吉伯斯现象

【信号频谱及有效带宽计算】

（a） 周期矩形信号

利用连续Fourier级数的时移特性，以

第五章 连续时间系统的复频域分析

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯是法国数学家和天文学家。拉普拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

复频域分析是分析LTI系统的有效工具。与傅氏变换分析法相比，它可以扩大信号变换的范围，而且求解比较简便，因而应用更为广泛。一些不存在傅里叶变换的时间函数，其拉普拉斯变换却存在，这在一定程度上弥补了傅里叶变换的不足，使得拉普拉斯变换更有生命力。

本章首先从傅里叶变换中导出拉普拉斯变换，把频域扩展为复频域，将拉普拉斯变换理解为广义的傅氏变换，对拉氏变换给出一定的物理解释。然后讨论拉氏正、反变换以及拉氏变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨论线性系统的拉氏变换分析法。最后介绍双边拉普拉斯变换、线性系统的模拟和信号流图。

5.1拉普拉斯变换

在前面章节的讨论中，可以看到，信号既可用时域表示，也可用傅里叶变换的频域表示，但并不是所有的时域信号都可以有对应的频域信号。事实上有许多信号，如阶跃信号??t?、单边斜坡信号t??t?、单边正弦信号sint??t?等等，它们不满足绝对可积的条件，因而不能直接得到其傅里叶变换表达式。虽然借助于广义函数仍可求得它们的傅里叶变换，但同时也增加

实验三 周期信号频域分析

一、目的

（1）掌握周期信号傅立叶级数分解与合成的计算公式

（2）掌握利用MATLAB实现周期信号傅立叶级数分解与综合方法 （3）理解并掌握周期信号频谱特点

二、周期信号傅立叶级数

周期信号是定义在(??,??)区间内，按一定时间间隔（周期T）不断重复的信号。可表示为

f(t)?f(t?mT)

式中m为任意整数，T为周期，周期的倒数成为该信号频率。

实验内容

仿照例程，实现下述周期信号的傅立叶级数分解与合成： f(t)

1

O 4 -4 -3 1

要求：

0n5 t （a）首先，推导出求解a，a，b的公式，计算出前10次系数；

n （b）利用MATLAB求解a，a，b的值，其中a，b求解前10次系

0nnnn数，并给出利用这些系数合成的信号波形。

（a）设周期信号f(t)的周期为T，角频率??2?f?1112?T1，且满足狄里赫利条件，

则该周期信号可以展开成傅立叶级数。 （1）三角形式傅立叶级数

f(t)?a0?a1cos?1t?b1sin?1t?a2cos?2t?b2sin?2t?...?ancos?nt?bnsin?nt?...??n?a0??an?1cos(n?1t)??bn?1nsin(

《信号与系统》课程研究性学习手册

姓名 纪良源 学号 12212052 同组成员 贾皓新

曹世杰 杨欣 高昀峰 指导教师

时间 2014.12.25

1

信号的频域分析专题研讨

【目的】

(1) 建立工程应用中有效带宽的概念，了解有限次谐波合成信号及吉伯斯现象。

(2) 掌握带限信号，带通信号、未知信号等不同特性的连续时间信号的抽样，以及抽样过程中的参数选择与确定。认识混叠误差，以及减小混叠误差的措施。

(3) 加深对信号频域分析基本原理和方法的理解。

(4) 锻炼学生综合利用所学理论和技术，

连续时间系统的复频域分析

一、 实验目的

1.深刻理解和掌握拉普拉斯变换的运算方法和其性质。

2.熟练掌握利用部分分式展开的方法求解拉普拉斯逆变换，并能用MATLAB实现。

3.掌握复频域系统函数H(s)的意义，并能够熟练画出其频谱。

4.掌握利用复频域系统函数H(s)的零、极点分布对连续时间系统进行复频域分析的原理和方法。 二、 实验内容 1. 拉普拉斯变换

F(s)??????f(t)e?stdt (1)

s???j?

MATLAB实现：F=laplace(f) f=ilaplace(F)——F和f都是符号函数。 5-1 用laplace和ilaplace求：

(1) f(t)?e-2tcos(at)u(t)的拉普拉斯变换 (2) F(s)?1的拉普拉斯逆变换

(s?1)(s?2)(1)clc clear syms a t;

F=laplace(exp(-2*t)*cos(a*t))

F=(s+2)/(s^2+4*s+4+a^2) (2)

clc clear syms s

F=1/[(s+1)*(s+2)]; f=ilaplace(F);

f=exp(-t)-exp(-2*t)

书名：信号与系统——时域、频域分析及MATLAB软件的应用 作者：吴新余 周井泉 沈元隆 页数：417页 开数：16开 字数：680千字

出版日期：1999年12月第1版 2000年5月第2次印刷 出版社：电子工业出版社

书号：ISBN 7–5053–5669–0 定价：35．00元

内容简介

本书为一本面向21世纪教学的有关信号与系统分析的教材。全书共分为八章，即信号与系统的基本概念，卷积积分，傅分变换，系统的性能分析，Z变换，状态变量分析以及Matlab软件在信号与系统分析中的应用。

本书各章附加了与内容相配合的例题和习题，书末附有习题答案，以便于自学。为了适应科技形势迅速发展的需要，本书加强了学生计算机应用能力的培养。编排了30余个Matlab应用程序以供学生训练用。

本书可作为通信、电子和自控类的各种专业本科生的教材，也可供有关技术人员参考。 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。 版权所有，翻印必究。

作者简介

吴新余，男，1939年8月生，1962年毕业于哈军工航空系，现为南京邮电学院电子工程系教授(1992)，IEEE高级会员(1994)。在1986—1998年间，曾三次赴美国芝加哥伊里诺

一，实验目的

针对拉普拉斯变换及其反变换，了解定义、并掌握matlab实现方法；掌握连续时间系统函数的定义和复频域分析方法；利用MATLAB加深掌握系统零极点和系统分布。

二，实验原理

1.拉普拉斯变换

调用laplace和ilaplace函数表示拉氏变换和拉氏反变换：

L=laplace(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t，返回变量为s的结果表达式。

L=laplace(F,t)用t替换结果中的变量s。

F=ilaplace(L)以s为变量的符号表达式L的拉氏反变换，返回时间变量为t的结果表达式。

F=ilaplace(L,x)用x替换结果中的变量t。

2.连续时间系统的系统函数 3.连续时间系统的零极点分析

求多项式的根可以通过roots来实现：

r=roots(c) c为多项式的系数向量，返回值r为多项式的根向量。 绘制系统函数的零极点分布图，可调用pzmap函数：

Pzmap(sys)绘出由系统模型sys描述的系统的零极点分布图。 [p，z]=pzmap(sys)返回极点和零点，不绘出分布图。

三，实验内容

（1）已知系统的冲激响应h(t)=u(t)-u(t-2)，输入信号x(t)=u(t)，试采用复频域的方法求解系统