中考压轴题动点问题

中考数学中的动点问题

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态

问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量

X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，

把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

动点问题最突出的特点为条件中的主要元素--点是运动的.这类题目形式多样,要求学生运用数形

结合的思想,通过观察、猜想、推理、计算等一系列数学探索活动,用方程或函数的观点描述这些变化,

进而寻求解题思路.

这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点。

简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式。

复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数型结合的思想，求得点的坐标，进而用待定系数法求函数的解析式。

还有一种常见题型，解析式中有待定字母，这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解，或者根据题意列出方程组求解。

中考压轴题（二）

一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线y??34x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时

从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S?485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第

四个顶点M的坐标．

P O Q A x B y 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）

C C C

F F

E A B A A D O E B O B O

图（1） 图（2）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60o．

（1）求⊙O的直径；

图（3）

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD

中考压轴题双动点问题专题

1、（2011年河南）

22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

22.（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.

又∵AE=t，∴AE=DF.…………………………………………………………………………2分 （2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.…………………………………………………3分 ∵AB=BC·tan30°=53?3?5,?AC?2AB?10. 310. 3?AD?AC?DC?10?2t.

若使?AEFD为菱形，则需AE?AD.即t?10?2t,t?即当t

2012年广州中考数学压轴题分类专题

专题1：动点问题 授课教师：黄立宗

一、典型例题选讲：

例1、（2012吉林长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）． （2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

细节决定未来

例题2：（2012湖南湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AO，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点． （1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由； （3

2013中考最后冲刺---选择填空压轴题 专题(五)：动点问题压轴题大检阅(附答案)

一、选择题

1. （2012北京市4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所

示方向经过点B

跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑

步的时间为t（单

位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，

则这个固定

位置可能是图1中的【 】

A．点M

B．点N

C．点P

D．点

Q

2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】

A． B．

C． D．

3. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】

A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后

动点问题

1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=

11BC=。 222215?1? 又∵OB=2，∴OD=OB?BD?2????。

22??22（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则AB=OB2+OA2?22。 ∵D和E是中点，∴DE=AB=2。 （3）∵BD=x，∴OD?4?x2。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=90。 ∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=0

124?x22。

由△BOD∽△EDF，得

BDOD=，即 EFDFx4?x21=，解得EF=x。

2EF24?x2第 1 页 共 44 页

∴OE=∴

x+4?x22。

114?x2x+4?x24?x2+x4?x

2014数学中考压轴题 因动点产生的线段和差问题

例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE

＝∠OBA．

（1）如图1，求点E的坐标；

（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．

①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2

取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

图1 图2

思路点拨

1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m． 2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．

3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．

满分解答

（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA． 所以

24AOBO

．因此 ．

OE2OEOA

解得OE＝1．所以E(0,1)．

（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2． 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9

因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板 “13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．

请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨

1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．

2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OH

A( ．

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，

2011中考数学热点专题突破训练――动点问题

1、解：（1）①∵t?1秒，

∴BP?CQ?3?1?3厘米，

∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米．

又∵PC?BC?BP，BC?8厘米， ∴PC?8?3?5厘米， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，

∴△BPD≌△CQP． ············································································· （4分） ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，

又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t?∴vQ?BP4?秒， 33CQ515································································· （7分） ??厘米/秒． ·

44t3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

1580x?3x?2?10，解得x?秒． 4380∴点P共运动了?3?80厘米．

3∵80?2?28?24，

由题意，得

∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过

80秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ········

2019-2020年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题

如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点． （1）当tanA?1时，求AP的长；

2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于

x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）在（2）的条件下，当tanA?4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．

请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，

2同时与⊙Q相外切．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙

2Q都内切．

思路点拨

1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．

2．