近世代数第二章答案张禾瑞
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近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
第 1 页 共 20 页
定义:
IV? G里至少存在一个右逆元a?1,能让
ae=a 对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至
近世代数第二章答案
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
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定义:
IV? G里至少存在一个右逆元a?1,能让
ae=a 对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立
5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')
?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 aa?e
(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
' 4. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立
4',5'来作群的定义:
5. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?e 得aa?e
''?1' 因为由4G有元a能使aa?e
'?1?1?1 所以(aa)e?(aa)(aa)
?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 aa?e
(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa)a?a(
近世代数第二章答案(修改)
近世代数第二章群论答案
§1. 群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 解:不是,因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解:令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先,容易验证,这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为,由于ea?ae?a,若是元素e在(1)中出现,那么(1)成立。(参考第一章,§4,习题3。)若是e不在(1)中出现,那么有
?aa?a?ea?a a?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次,G有左单位元,就是e;e有左逆元,就是e,a有左逆元,就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下,以上运算表是如何作出的。
3.证明,我们也可以用条件Ⅰ,Ⅱ以及下面的条件IV?,V?来做群的
第 1 页 共 20 页
定义:
IV?
G里至少存在一个右单位元e,能让
ae=a
对于G的任何元a都成立;
V? 对于G的每一个元a,在G里至少
近世代数第二章课件
第二章 群 论 20
第二章 群论
本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群,但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群.群是概括性比较强的一个概念,是近世代数中比较丰富的一个分支,它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究,发展到现在,群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域.如在近世几何中,利用群的观点,把几何加以科学分类;在晶体学中,利用群论的方法,解决了空间晶体的分类问题;在现代通讯理论中,利用群来进行编码,有所谓的群码.我们先从半群开始来研究群.
§1 群的定义及基本性质
2.1 半群的定义
设S是具有一个代数运算的集合,为了方便,将此代数运算叫S的乘法,并且仍用通常的乘法记号“·”来表示,把S的两个元素a,b关于“·”运算结果a?b简记为ab.当然,这样被叫做乘法不一定就是
指数的乘法,还可表示像矩阵、函数、向量的乘法,但一般来说它们都不是数的乘法.
定义1 如果代数结构(S,·)的乘法适合结合律,即
?a,b,c?S,有(ab)c?a(bc),则称S关于它的乘法是一个半群,简称S是一个半群.
例1
近世代数习题第二章
第二章 群论
近世代数习题第二章 第一组 1-13题;第二组 14-26题;第三组 27-39题;第四组 40-52
题,最后提交时间为11月25日
1、设G是整数集,则G对运算 a?b?a?b?4 是否构成群?
2、设G是正整数集,则G对运算 a?b?a 是否构成群?
3、证明:正整数对于普通乘法构成幺半群.
4、证明:正整数对于普通加法构成半群,不含有左右单位元. 5、G是整数集,则G对运算 a?b?1 是否构成群?
6、设a,b是群G中任意两元素. 证明:在G中存在唯一元素x,使得axba?b. 7、设u是群G中任意取定的元素,证明:G对新运算a?b?aub也作成群. 8、证:在正有理数乘群中,除1外,其余元素阶数都是无限.
9、证:在非零有理数乘群中,1的阶是1,-1的是2,其余元素阶数都是无限. 10、设群G中元素a阶数是n,则 a?e?n|m.
11、设群G中元素a阶数是n,则 |a|?mbmn.,其中k为任意整数. (m,n) 设(m,n)=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^
近世代数答案
1:证明::实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。 证:(1)显然,Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 (2)∵矩阵的加法满足结合律,那么有结合律成立。 (3)∵矩阵的加法满足交换律,那么有交换律成立。 (4)零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 (5)?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴(Mn(R),+)构成一个Abel群。
2:证明:实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。
证明:显然GLn(R)是个非空集合。
对于任何的A,B∈GLn(R),令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。
⑴因为举证乘法有结合律,所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R),AE=EA,所以E是单位元。
⑶任意的A∈GLn(R),由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A,满足
?1AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 A?1.所以,GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。
3:证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这
近世代数的答案
近世代数习题解答
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立
5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')
?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 a?1a?e
(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义:
近世代数复习
近世代数复习
一、单项选择题(20分)
1、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群。
A. G为整数集合,*为加法 B. G为偶数集合,*为加法 C.G为有理数集合,*为加法 D. G为有理数集合,*为乘法 2、设A={所有实数},A的代数运算a?b=a+2b( ) A.适合结合律但不适合交换律;B.不适合结合律但适合交换律; C.既适合结合律又适合交换律;D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中,不包含15Z的子群是( )。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z (D)13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac,那么
2?1x?( )
A. bc?1a?1; B.c?1a?1; C.a?1bc?1; D.b?1ca。
5、设G=Z,对G规定运算o,下列规定中只有( )构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法)
6、设H (B) ab1∈H (C) a1b∈H - - (C) aob=2? a+3?