压杆稳定系数

压杆稳定

一、概念题

1．判断题：（以下结论对者画√，错者画×）

（1）直杆受压时的承载能力取决于它的强度是否足够。 （ ） （2）临界应力愈大，压杆愈容易失稳。 （ ） （3）压杆的柔度与压杆的材料无关。 （ ） （4）计算压杆临界力的公式是欧拉公式。 （ ） （5）压杆总是在?值大的纵向平面内失稳。 （6）两杆的材料、长度、截面积以及两端支撑均相同，它们的临界应力相同。 （7）细长压杆不易采用高强度钢来提高其稳定性。 （8）提高压杆稳定性的措施，实际上就是如何增大柔度的措施。 2．选择题：

（1）图示截面形状的压杆，设两端为铰链支承。失稳时（ ）

A、图（A）截面绕y轴转动； B、图（B）截面绕x轴转动； C、图（C）截面绕x轴转

第十章 压杆稳定

学时分配：共6学时

主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式法进行压杆稳定校核。

?，临

?cr?a?b?，使用安全系数

$10.1压杆稳定的概念

1．压杆稳定

若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳P P

2．临界压力

当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小干扰力 弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。

P P P 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用

Pc?表示。

3．曲屈

受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。

$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式

1．两端铰支压杆的临界力

选取如图所示坐标系xOy。距原点为x的任意截面的挠度为v。于是有

M??Pv

2．挠曲线近似微分方程：

将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得

?x lEIv''?M?x???Pv

k2?令 则有

PEI

v''?k2v'?0

第9章 压 杆 稳 定 习 题

(1) 如图9.12(a)和图9.12(b)所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆(如图9.12(a)所示)的基础放在弹性地基上，第二根杆(如图9.12(b)所示)的基础放在刚性地基上。试问两?2EImin杆的临界力是否均为Fcr?？为什么？并由此判断压杆长度因数?是否可能大于2。

(2l)2

图9.12 习题(1)图

(2) 如图9.13所示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小(如图9.13(f)所示的杆在中间支杆承处不能转动)？

图9.13 习题(2)图

(3) 压杆的A端固定，B端自由(如图9.14(a)所示)。为提高其稳定性，在中点增加铰支座C(如图9.14(b)所示)。试求加强后压杆的欧拉公式。

图9.14 习题(3)图

(4) 如图9.15所示正方形桁架，5根相同直径的圆截面杆，已知杆直径d=50mm，杆长a=1m，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa。试求桁架的临界力。若将荷载F方向反向，桁架的临界力又为何值？

FFa图9.15 习题(4)图

(5) 如图9.16所示两端固定的空心圆柱形压杆，材料为Q235钢，E=200GPa，?p=100，外径与内径

第9章 压 杆 稳 定 习 题

(1) 如图9.12(a)和图9.12(b)所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆(如图9.12(a)所示)的基础放在弹性地基上，第二根杆(如图9.12(b)所示)的基础放在刚性地基上。试问两?2EImin杆的临界力是否均为Fcr?？为什么？并由此判断压杆长度因数?是否可能大于2。

(2l)2

图9.12 习题(1)图

(2) 如图9.13所示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小(如图9.13(f)所示的杆在中间支杆承处不能转动)？

图9.13 习题(2)图

(3) 压杆的A端固定，B端自由(如图9.14(a)所示)。为提高其稳定性，在中点增加铰支座C(如图9.14(b)所示)。试求加强后压杆的欧拉公式。

图9.14 习题(3)图

(4) 如图9.15所示正方形桁架，5根相同直径的圆截面杆，已知杆直径d=50mm，杆长a=1m，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa。试求桁架的临界力。若将荷载F方向反向，桁架的临界力又为何值？

FFa图9.15 习题(4)图

(5) 如图9.16所示两端固定的空心圆柱形压杆，材料为Q235钢，E=200GPa，?p=100，外径与内径

第9章 压 杆 稳 定 习 题

(1) 如图9.12(a)和图9.12(b)所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆(如图9.12(a)所示)的基础放在弹性地基上，第二根杆(如图9.12(b)所示)的基础放在刚性地基上。试问两?2EImin杆的临界力是否均为Fcr?？为什么？并由此判断压杆长度因数?是否可能大于2。

(2l)2

图9.12 习题(1)图

(2) 如图9.13所示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小(如图9.13(f)所示的杆在中间支杆承处不能转动)？

图9.13 习题(2)图

(3) 压杆的A端固定，B端自由(如图9.14(a)所示)。为提高其稳定性，在中点增加铰支座C(如图9.14(b)所示)。试求加强后压杆的欧拉公式。

图9.14 习题(3)图

(4) 如图9.15所示正方形桁架，5根相同直径的圆截面杆，已知杆直径d=50mm，杆长a=1m，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa。试求桁架的临界力。若将荷载F方向反向，桁架的临界力又为何值？

FFa图9.15 习题(4)图

(5) 如图9.16所示两端固定的空心圆柱形压杆，材料为Q235钢，E=200GPa，?p=100，外径与内径

《创新型力学实验》

压杆稳定临界载荷测定综合实验

一、实验目的

1. 2. 3. 4. 5. 6.

熟悉动态应变仪的使用方法； 掌握振动信号的测量方法；

测量受压细长杆件失稳时的临界力； 讨论不同杆端约束条件对临界力的影响；

将材料力学方法与振动法测量结果进行比较，讨论两种方法的优缺点； 计算临界力，验证欧拉公式，并分析产生误差的原因。

二、实验仪器设备

动态信号分析仪、压杆稳定综合实验装置、电阻应变片、电涡流传感器、力锤、力传感器读数器、电涡流读数器 矩形截面钢制细长杆件（弹性模量E=180GPa）

三、实验原理

细长杆作垂直轴线方向的振动时，其主要变形形式是弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动，简称梁的振动。如果梁是直梁，而且具有对称面，振动中梁的轴线始终在对称面内。忽略剪切变形和截面绕中心轴转动的影响，即所谓的欧拉梁。它作横向振动时的偏微分方程为：

??2y?x,t???2y?x,t??EI?x??x2???A?x???t2?q?x,t? (4-6) ??EI(x)为弯曲刚度(E为纵向弹性模量，I(x)为截面惯性矩)，??x?为密度，

?2?x2A(x)为截面积，q(x,t)为分布干扰力，y(x,t)为挠度。若梁为均质、

第9章 压 杆 稳 定 习 题

(1) 如图9.12(a)和图9.12(b)所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆(如图9.12(a)所示)的基础放在弹性地基上，第二根杆(如图9.12(b)所示)的基础放在刚性地基上。试问两?2EImin杆的临界力是否均为Fcr?？为什么？并由此判断压杆长度因数?是否可能大于2。

(2l)2

图9.12 习题(1)图

(2) 如图9.13所示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小(如图9.13(f)所示的杆在中间支杆承处不能转动)？

图9.13 习题(2)图

(3) 压杆的A端固定，B端自由(如图9.14(a)所示)。为提高其稳定性，在中点增加铰支座C(如图9.14(b)所示)。试求加强后压杆的欧拉公式。

图9.14 习题(3)图

(4) 如图9.15所示正方形桁架，5根相同直径的圆截面杆，已知杆直径d=50mm，杆长a=1m，材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa。试求桁架的临界力。若将荷载F方向反向，桁架的临界力又为何值？

FFa图9.15 习题(4)图

(5) 如图9.16所示两端固定的空心圆柱形压杆，材料为Q235钢，E=200GPa，?p=100，外径与内径

第10章 压杆稳定

10.1【学习基本要求】

1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。

3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。

7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。

9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】

1、压杆稳定的概念

稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。

稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。 ．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。 ．．．失稳：轴向

第10章 压杆稳定

10.1【学习基本要求】

1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。

3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。

7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。

9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】

1、压杆稳定的概念

稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。

稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。 ．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。 ．．．失稳：轴向

9-1(9-2) 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 与约束情况有关的长度系数。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）

=1×5=5m =0.7×7=4.9m =0.5×9=4.5m =2×2=4m =1×8=8m =0.7×5=3.5m

最小，图f所示杆

最大。

成反比，此处，

为

故图e所示杆 返回

9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数

温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：

时安装在两个固定支座之间，

。试问当

返回

9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按

细长杆考虑），确定最小临界力

的算式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上

端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时