分段函数求导例题及解析

分段函数常见题型例析

所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：

１．求分段函数的定义域、值域

例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2

)2(,42x x x x x 的值域．

解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．

当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2

2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．

２．作分段函数的图象

例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞?

，，，，

，，，画函数(

f x 解：函数图象如图１所示．

评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，

作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出

其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；

二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值

例３．

分段函数

1.已知函数f（x）＝??3x?2,x?1,?x?ax,x?1,2若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

?log3x,x?012. 已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0A.4

B.

1 4 C.-4 D-

1 4【答案】B

1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2，则f(f())?f(?2)?2?2?，

9994所以B正确.

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0，则（f2009）的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所

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分段函数 适用学科 适用区域 知识点 数学 沈阳 1、分段函数的含义的认识 2、会作分段函数的图像. 3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 适用年级 高一 课时时长（分钟） 90 教学目标 知识与技能： 1.能根据不同情境，了解分段函数的含义。 2.了解简单的分段函数（函数分段不超过三段），并能运用分段函数求函数值的问题。 3.能作出分段函数的图像，利用它解决生活中的简单应用问题. 过程与方法： 1.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，分清函数与分段函数的区别与联系； 2.通过例题的探究，培养学生勤于动脑，乐于探究，主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性. 3.经过训练题和课堂练习，加深对分段函数的概念、图像的认识，应用，提高分析、解决问题的能力. 情感态度与价值观： 学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲、感悟数学的美。 教学重点 1.分段函数的含义的认识 2.会作分段函数的图像. 3.利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 教学难点 1.分段函数与一般函数的区别与联系。 2.如何作分段函数的图像（步骤、方

分段函数

1.已知函数f（x）＝??3x?2,x?1,?x?ax,x?1,2若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

?log3x,x?012. 已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0A.4

B.

1 4 C.-4 D-

1 4【答案】B

1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2，则f(f())?f(?2)?2?2?，

9994所以B正确.

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0，则（f2009）的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所

课件

第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

课件

导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

课件

( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

课件

左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = li

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

高数课件

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说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

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第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x,