数学必修五解三角形的题以及答案

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

专题讲座 解三角形问题中的数学思想

1.转化思想 ................................................................................................................................................................... 2

练习一 .................................................................................................................................................................. 4 2.方程思想 .................................................................................................................................................................

必修五解三角形章节总结与题型

章末整合提升

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.

b2 c2 a2

222222

2bc. 2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

111a b c

S(S a)(S b)(S c)23.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△==Sr(S=,r为abc

内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式

CCA BA B

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

必修五解三角形章节总结与题型

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

高考数学解三角形典型例题答案（一）

1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;

(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ?为锐角三角形得π6

B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A

C A A π?

?+=+π-

- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???

1cos cos 2A A A =++

3A π??=+ ??

?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小;

(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值.

【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．

即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B

=sin(B +C )

构成三角形个数问题

1在 ABC 中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是(

) A. 2 x 2\f2 B. X 2 血 C . V2 x 2 D. 0x2

2 ?如果满足 ABC 60 , AC 12 , BC k 的厶ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是

3.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）

A* CJ = S J fr = 10^ A = 45" E ? 口 = 60 r ￡* = S1 B = 6（T *

C. a — 7 > ￡> = 5 ? A - &0= D ? 口二 14# 6 - 20 , -4-45"心

求边长问题

A. 5 B

5?在△ ABC 中, a 1,B 450, S ABC 2，则 b = _________________

三. 求夹角问题

6.在 ABC 中， ABC -, AB 2,BC 3，则 sin BAC （） 4

10 10 3 10

5 A. 10 B 5 C 10 D 5 7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 4.在 ABC 中，角 A, B,C 所对边 a,b

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理

1.角角边

2.边边角

3.与三角公式结合

4.正弦定理与三角形增解的应对措施

5.边化角

6.正弦角化边

二．余弦定理

1.边边边

2.边角边

3.边边角

4.与三角公式结合

5.比例问题

6.余弦角化边

7.边化余弦角

三．三角形的面积公式

1.面积公式的选用

2.面积的计算

3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用

四．射影定理

五．正弦定理与余弦定理综合应用

1.边角互化与三角公式结合

2.与平面向量结合

3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状

4.三角形中的最值问题

(1)最大(小)角

(2)最长(短)边

(3)边长或周长的最值

1

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

2 (4)面积的最值

(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值

(6)基本不等式与余弦定理交汇

(7)与二次函数交汇

六．图形问题

1.三角形内角之和和外角问题

2.三角形角平分线问题

3.三角形中线问题

4.三角形中多次使用正、余弦定理

5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用

6.四边形与正、余弦定理

六．解三角形的实际应用

1.利用正弦定理求解实际应用问题

2.利用余弦定理求解实际应用问题

3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题

一．正弦定理

1.角角边

30,

第1章 解三角形

§1.1正弦定理、余弦定理

重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题． 考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sinA-sinC)＝(3a-b)sinB．

2

2

(1)求角C；

(2)求△ABC面积的最大值．

当堂练习：

1．在△ABC中，已知a=52 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )

(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC中，若2 ,则∠A的度数是 ( )

(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°

3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C=( )

(A) 15° (B) 30° (C) 45°

安丘一中2011-2012学年高三数学学案 诚者，天之道也；诚之者，人之道也。

课题：解三角形 安丘一中 李钧

目标：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

重点、难点：（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等；（3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。

【课内探究】

题型一：正弦定理、余弦定理的简单应用

〖例1〗在ΔABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC 解答：由已知得coAs?b?c?2bc2222a>c>b,∴A

2为最大角。由余弦定理得：1232a3?5??2??37??52。又∵

0?A??1?A8?。 0??A,??1?方法一：由正弦定理得

asinA?csinC，∴sinC?csinAa5??32?53714，因此最

大角A为120?，sinC?531422。

方法二：cosC?a?b?c2ab2?7?3?52?7?35314222?1114。∵C为三角形的内角，∴C为锐

角。sinC=1?cosC?21

解三角形

一.三角形中的基本关系： (1)sin(A?B)?sinC,

cos(A?B)??cosC,

tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC(2)sin2?cos2,cos2?sin2,tan2?cot2

(3)a>b则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：

abc???2R．R为???C的外接圆的半径）

sin?sin?sinC正弦定理的变形公式：

b?2Rsin?，a?2Rsin?，c?2RsinC；①化角为边：

asin??②化边为角：2Rcb，sin??2R，sinC?2R；

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc???④sin??sin??sinCsin?sin?sinC．

两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)

三．余弦定理：

a?b?c?2bccos?222b?a?c?2accos?222c?a?b?2abcosC．

注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：

222b?c?acos?? 2bc222a?c?bco