费米狄拉克分布函数的物理意义

各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。

一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．

状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对

温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。

只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。

费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】

第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．

， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。

第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。对于本征半导体，E f 处于禁带

为证明定理本身，我先证明几个引理。

引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[??,?]上可积，则有

a02?1??(an2?bn2)??f2(x)dx 2n?1???a02m??(ancosnx?bnsinnx) 证明：设Sm(x)?2n?1??2??2?显然：?[f(x)?Sm(x)]dx??????f(x)dx?2?f(x)Sm(x)dx??????Sn2m(x)dx (*)

a其中，?f(x)Sm(x)dx?02???????f(x)dx??(a??f(x)cosnxdx?b??f(x)sinnxdx)

nn?1??m???由傅立叶级数系数公式可以知道：

????2?f(x)Sm(x)dx??2a0???(an2?bn2)

2n?1mma02m?2222S(x)dx?[?(acosnx?bsinnx)]dx?a??(a?b??mnn0nn) ??2n?12n?1????以上各式代入(*)式，可以得到：

??20????[f(x)?Sm(x)]dx?另

???f(x)dx??22?2a0???(an2?bn2)

2n?1m?2a0???(an?bn)?22n?1m???f2(x)dx

这个结果对于?m?N均成立，而右端是一定积分可以

8《量子力学》自学辅导之八——狄拉克符号和占有数表象

第! !

卷第

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大

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《量子力学》自学辅导之八

—狄拉克符号和占有数表象曾心愉”,

4

宋宇辰

’4

裴文杰 5 4,

,

4

复旦大学物理系 6

复旦大学理论物理骨干教师班

上海

5

7

狄拉克符号对量子体系的描述们都有一个共同的特点,,

、 9、 0了 80 9、矛既可采用波动力学的方法0

9

,

又可采用矩阵力学的方法0

但不论采取什么形式,

,

时价二?成…嵘: 3,,

,

,

,

…

一

艺泌

3

。

? 4

它

即与体系有关的所有信息都波函数可写成,

将由波函数给出

而且极为重要的是0

各类力学量的本征函数的线性组合平方具有力学量概率的意义于是

而展开系数模的人们抓住事物的

。,注意:必沙护沙价奋方0 0

,

狄拉克符号的引入0

0

对于态空间中少与沙0

十

,

本质而思索这样的问题系,

:

能否不从单一角度去描述体,

从形式上看具有明显的不对称性

狄拉克认为它们应0

而用统一的方式全面地概括体系的所有性质及概构造了一个抽象的一“、

该分属于两个不同的空间引人符号>Β用>妙Β表示,,

这两个空间叫做伴随空间0 0

念;狄拉克从数学理论方面般的矢量、0

称为右矢

微观体系的任一状态妙,

捷灵活地

目录

1.均匀分布 (1)

2.正态分布（高斯分布） (2)

3.指数分布 (2)

4.Beta分布（β分布） (2)

5.Gamma分布 (3)

6.倒Gamma分布 (4)

7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5)

8.Pareto分布 (6)

9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)

χ分布（卡方分布） (7)

10.2

11.t分布 (8)

12.F分布 (9)

13.二项分布 (10)

14.泊松分布（Poisson分布） (10)

15.对数正态分布 (11)

1.均匀分布

均匀分布~(,)

X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a

=- ()2a b E X += 2

()()12

b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。

2

2()2()x f x μσ--=

()E X μ=

2()Var X σ=

3. 指数分布

指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指

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变速箱格特拉克报告

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格特拉克

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1

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目录

格特拉克 ................................................................................................................ 3

第一节 产品参数信息及销售价格 .............................................................. 3 第二节 市场占有量 ...................................................................................... 4 第三节 合作主机厂 ...................

我简单说一下我对费米能及的理解：

若固体中有N个电子，他们的基态是按泡利原理由低到高填充能量尽可能低的N个量子态。有两类填充情况：

一、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带。价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围称为带隙。这种情况对应绝缘体和半导体。半导体实际上是带隙宽度小的绝缘体。 二、除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带（常被称为导带）。这时最高占据能级为费米能级EF，它位于一个或几个能带的能量范围之内。这就是金属。 说白了，固体内的电子因泡利不相容原理，不能每一个电子都在最低的能级，便一个一个依序往从低能及往高能阶填，直到最后一个填进的那个能级便是所谓的费米能级。

如果你明白了费米能级，就知道它可以是任何数值。有的文献中，为了讨论方便。就定义了费米能级为零点（估计你的概念就是从这里得出的）。不同的费米能级有不同的物理意义。半导体的费米能级EF总为负值。

最后补充一点，一般我们讨论的都是电子费米子。至于中子、质子等其他费米子另当别论。

MS里介绍夹价带和态密度时的几句话，希望能解决你的问题。

All

我简单说一下我对费米能及的理解：

若固体中有N个电子，他们的基态是按泡利原理由低到高填充能量尽可能低的N个量子态。有两类填充情况：

一、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带。价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围称为带隙。这种情况对应绝缘体和半导体。半导体实际上是带隙宽度小的绝缘体。 二、除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带（常被称为导带）。这时最高占据能级为费米能级EF，它位于一个或几个能带的能量范围之内。这就是金属。 说白了，固体内的电子因泡利不相容原理，不能每一个电子都在最低的能级，便一个一个依序往从低能及往高能阶填，直到最后一个填进的那个能级便是所谓的费米能级。

如果你明白了费米能级，就知道它可以是任何数值。有的文献中，为了讨论方便。就定义了费米能级为零点（估计你的概念就是从这里得出的）。不同的费米能级有不同的物理意义。半导体的费米能级EF总为负值。

最后补充一点，一般我们讨论的都是电子费米子。至于中子、质子等其他费米子另当别论。

MS里介绍夹价带和态密度时的几句话，希望能解决你的问题。

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矩阵的内涵

如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难。

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为

我简单说一下我对费米能及的理解：

若固体中有N个电子，他们的基态是按泡利原理由低到高填充能量尽可能低的N个量子态。有两类填充情况：

一、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带。价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围称为带隙。这种情况对应绝缘体和半导体。半导体实际上是带隙宽度小的绝缘体。 二、除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带（常被称为导带）。这时最高占据能级为费米能级EF，它位于一个或几个能带的能量范围之内。这就是金属。 说白了，固体内的电子因泡利不相容原理，不能每一个电子都在最低的能级，便一个一个依序往从低能及往高能阶填，直到最后一个填进的那个能级便是所谓的费米能级。

如果你明白了费米能级，就知道它可以是任何数值。有的文献中，为了讨论方便。就定义了费米能级为零点（估计你的概念就是从这里得出的）。不同的费米能级有不同的物理意义。半导体的费米能级EF总为负值。

最后补充一点，一般我们讨论的都是电子费米子。至于中子、质子等其他费米子另当别论。

MS里介绍夹价带和态密度时的几句话，希望能解决你的问题。

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一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个不等实根为x1，x2

????b2??①方程有两个不等正根 x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0②方程两根一正一负 ：x1?0?x2，则ca?0

????b2??③方程有两个不等负根：x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0即时应用：

(1)若一元二次方程(m?1)x?2(m?1)x?m?0有两个不等正根，求m

2(2)k在何范围内取值，一元二次方程kx?3kx?k?3?0有一