平面向量数量积的性质及运算律
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平面向量数量积
平面向量数量积的 物理背景及其含义
教学目标:掌握平面向量数量积的概念, 掌握平面向量数量积的概念,能用它来 表示向量的模及向量的夹角
教学重点:平面向量数量积的运算律, 平面向量数量积的运算律,用它来表示向量的模及向量的夹角
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解, 平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用
如图所示:物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示:物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功? 所作的功? F θ S A B F
力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
W= F S cosθ
已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积,记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角, |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义:数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积
教学目标:
(i)知识目标:
(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标:
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程: 一、追溯
????1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos?
?????????aaaa叫与b的数量积,记作?b,即?b = |||b|cos?,(0????)并规定0与任何向量的
数量积为0 ??????aaa2.平面向量的数量积的几何意义:数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3.两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?; 2?a?b ? a?b = 0
???????????????3?当a与b同向时
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算一直是高考热点内容,它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键,同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解
在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)
2
=a2+2a2b+b2,(a-b)2=a2-2a2b+b2
2
2
上述两公式以及(a+b)(a-b)=a-b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中
可以直接应用.
例1 已知|a|=2,|b|=5,a2b=-3,求|a+b|,|a-b|.
222222
解析:∵|a+b|=(a+b)=a+2a2b+b=2+23(-3)+5=23
∴|a+b|=23,∵(|a-b|)=(a-b)=a-2a2b+b=2-23(-3)
2
2
2
2
2
35=35,
∴|a-b|=35.
例2 已知|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求a与b的夹角θ(精确到1°).
22222
解析:∵(|a+b|)=(a+b)=a+2a2b+b=|a|+2|
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算一直是高考热点内容,它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键,同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解
在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)
2
=a2+2a2b+b2,(a-b)2=a2-2a2b+b2
2
2
上述两公式以及(a+b)(a-b)=a-b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中
可以直接应用.
例1 已知|a|=2,|b|=5,a2b=-3,求|a+b|,|a-b|.
222222
解析:∵|a+b|=(a+b)=a+2a2b+b=2+23(-3)+5=23
∴|a+b|=23,∵(|a-b|)=(a-b)=a-2a2b+b=2-23(-3)
2
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35=35,
∴|a-b|=35.
例2 已知|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求a与b的夹角θ(精确到1°).
22222
解析:∵(|a+b|)=(a+b)=a+2a2b+b=|a|+2|
平面向量的数量积及运算律、定比分点及平移课时闯关(含答案解析)
平面向量的数量积及运算律
一、选择题
1.若向量a =(3,m ),b =(2,-1),a·b =0,则实数m 的值为( )
A .-32 B.32
C .2
D .6
解析:选D.由a·b =0,得3×2+m ×(-1)=0,
∴m =6.
2.若a ,b 是非零向量,且a ⊥b ,|a|≠|b|,则函数f (x )=(x a +b )·(x b -a )是( )
A .一次函数且是奇函数
B .一次函数但不是奇函数
C .二次函数且是偶函数
D .二次函数但不是偶函数
解析:选A.∵a ⊥b ,∴a·b =0,
∴f (x )=(x a +b )·(x b -a )=x 2·a·b +(|b |2-|a |2)x -a·b =(|b |2-|a |2)·x .
又∵|b |≠|a |,∴f (x )为一次函数,且是奇函数,故选A.
3.(2013·重庆一中高三调研)若向量a 与b 的夹角为75°,|a |=2sin 150°,|b |=4cos 15°,则a·b 的值为
A .-1
B .1
C .- 3 D. 3
解析:选B.|a |=2sin 150°=2×12
=1. a·b =1×4cos 15°cos75°=1×2×2cos 15°sin
高考数学 平面向量的数量积与平面向量应用举例
第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量的数量积
若两个__非零__向量a与b,它们的夹角为θ,则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积),记作__a·b=|a||b|cos θ__.
规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b=0__,两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b=±|a||b|__.
2.平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e·a=a·e=__|a|cos〈a,e〉__; (2)非零向量a,b,a⊥b?__a·b=0__;
(3)当a与b同向时,a·b=__|a||b|__;当a与b反向时,a·b=_
平面向量数量积的几何解释
平面向量数量积的几何解释
2 0 1 4年第 5 3卷第 9期
数学通报
4 1
平面向量数量积的几何解释朱胜强(南京外国语学校 2 1 0 0 0 8 )
所以 c ( n+ 6 )一C a+ c b,
所以 (口+ 6 ) c— a c+ b C .
现行其它版本的课标教材,有关向量数量积的几何意义及分配律的证明,也基本上采用类似
的方法 .但教学中发现,数量积的几何意义其“几何味”不是很浓 .
名义上为几何意义,但指的却是两个数的乘积.虽然向量 a的长度 I a I与 b在 a的方向上的投影都可以从图上看出来,但它们的积并未通过几
何直观呈现 .而“长度”与“投影”积的大小如何,与两个向量的模及两个向量的方向有何关系,更是
无从知晓.因此,它对于学生认识向量的数量积并没能起到明显作用.图 1
此外,解释向量数量积的几何意义需要涉及有向线段的数量等概念 .向量、有向线段、有向线段的数量、向量的投影等概念集中在一起,学生很容易混淆 .虽然前面曾用单位圆中的三角函数线
由此可知 a 的几何意义是:数量积 a 等于 a的长度 f a f与 b在 a的方向上的投影 f b[ . c o s 0
的乘积. 运用数量积的几何意义,数量积对向量加法运算分配律可有
2022高考数学考点突破——平面向量:平面向量的数量积学案
1 平面向量的数量积
【考点梳理】
1.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积).规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义:数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
(1)交换律:a 2b =b 2a ;
(2)数乘结合律:(λa )2b =λ(a 2b )=a 2(λb );
(3)分配律:a 2(b +c )=a 2b +a 2c .
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ=〈a ,b 〉.
考点一、平面向量数量积的运算
【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF →2BC →的值为( )
A .-58
B .18
C .14
D .118
(2)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO →2AP →的最大值为
________.
[答案] (1)B (2) 6
2 [解析] (
第11讲 平面向量数量积与坐标运算(答案版)
第11讲 平面向量的数 量积与坐标运算
满分晋级
向量3级 平面向量的数量积与坐标运算
向量2级 平面向量的线性
运算
向量1级 向量基本概念及运算
新课标剖析
当前形势
内容
平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法
与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件
高考 要求
数量积 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直
关系 用向量方法解决简单的问题
平面向量在近五年北京卷(理)考查5分
要求层次 A
B √ √
C √ √ √ √ √
具体要求
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ①理解数量积的含义及其物理意义. ②了解数量积与向量投影的关系.
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与一些实际问题.
2012年 (新课标)
2013年 (新课标)
√
北京 高考
2009年
2010年 (新课
配套K12高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课
最新K12教育
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课堂导学
三点剖析
1.两个向量数量积的坐标表示
【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量a-λb与2a+b垂直,求λ的值. 解:(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,
又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=
a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).
∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=
52. 9温馨提示
运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用
【例2】已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
a?(a?b)|a|2?a?b思路分析:根据向量夹角公式得:cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1:
22
根据|a|=|b|,有|a|=|b|.
222
又由|b|=|a-b|,得