过切点的半径垂直于切线证明

24.1.2垂直于弦的直径教案

课题：垂直于弦的

直径计划学时：1 授课老师与指教班级：

招毅峰初三（3）班

学生人数：45人

教学过程

环节内容师生活动课前准备开好投影设备，检查学生带好工具没有，发学习单，作好图

情景导入巨星的难题（改编赵州桥题目）：

篮球巨星姚明身高2米26，筹划在家里建一个气派的拱门。拱门是

圆拱形，姚明要求拱门的跨度10米，拱高4米，要制作拱门必须知

道拱门的半径？

要解决巨星的难题，我们就要掌握好今天的课堂内容

24.1.2垂直于弦的直径（板书）教师风趣生动叙述

环节内容师生活动

回顾轴对称性

质利用学习单

（4）轴对称性质：点A与点B关于CD轴对称，

连结对应点A、B，则AB与轴CD___________

学生按学

习单要求

进行教学

活动，教师

引导

探究活动一沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？

启发：是不是发现圆的左右两边半圆重合?

那就说明了，圆是_________图形（板书）

并且它的对称轴是________________________________（板书）学生按学

习单要求进行教学

活动，教师引导

探究活动二（1）拿出预先准备好的圆形

（2）过圆心画一条直径CD

（3）在圆形上任取一点，记为A点

（4）沿着画好的直径对折，找到A的对

课 堂 教 学 设 计

教学环节 四、质疑 解题

教 学 内 容

与

师 生 活 动

设计意图教师提出 问题，引导 学生进行 思考和讨 论。 学生尝试 得出垂径 定理和推 论，教师规 范并板书。 教师提醒 学生此中 的弦一定 不能是直 径。

五、巩固 训练

分弦，并且平分弦所对的两条弧。 ④ 你能用几何方法证明这些结论

吗？你能用符号语言表达这个结 论吗？ 3.垂径定理的推论 如上图，若直径 CD 平分弦 AB 则 ① 直径 CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？ ② 你能用一句话总结这个结论吗？(即推论：平分弦的直径也垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧) ③ 如果弦 AB 是直径，以上结论还成立吗？ O 巩固训练： B D A 1、教材第 8 页练习题。 2、如图。在⊙O 中弦 AB 的长为 8cm, 圆心 O 到 AB 的距离 OD=3cm,则⊙O 的半径为 cm 讲解自学提纲问题 小结升华 (1) 本节课你学到了哪些数学知识？ (2) 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？ (3) 这些方法中你又用到了哪些数学思想？ 下面进行课堂小测

六、课堂 小结 七、当堂 小测 八、作业

简单应用 由学生独 立完成,教 师可让学 生自己进

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，

∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延

《垂直于弦的直径》第一课时教学设计方案（说课稿）

房山区良乡二中 刘夙新

尊敬的各位评委、老师大家好！我是来自良乡二中的刘夙新，很高兴有这样一个机会与各位老师进行学习和交流，今天我说课的内容是：垂直于弦的直径的第一节课。

下面，我从教材才分析、教学目标、教学方法与教学手段、教学过程的设计 四个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析：

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

本节课的重点是：垂径定理及其应用。

本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明。 理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。

二、教学目标：

新课程理念下的数学教学不仅是知识的教学、技能的训练，更应

《垂直于弦的直径》第一课时教学设计方案（说课稿）

房山区良乡二中 刘夙新

尊敬的各位评委、老师大家好！我是来自良乡二中的刘夙新，很高兴有这样一个机会与各位老师进行学习和交流，今天我说课的内容是：垂直于弦的直径的第一节课。

下面，我从教材才分析、教学目标、教学方法与教学手段、教学过程的设计 四个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析：

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

本节课的重点是：垂径定理及其应用。

本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明。 理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。

二、教学目标：

新课程理念下的数学教学不仅是知识的教学、技能的训练，更应

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

学习资料收集于网络，仅供参考

学习资料

切线的证明方法和归纳：

1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：

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学习资料无交点,作垂直,证半径.

如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

学习资料收集于网络，仅供参考

有交点，连半径,证垂直.

例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

学习资料

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学习资料

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．

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学习资料

相关题型

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接C

切线的证法

1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线

2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）

例：.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

AC3AF

=,求的值。 AB5DF

练习2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。 （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=

4

,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。 5

3. 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

F(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.

B

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC

于点G，交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1） 求证：AE与⊙O相切； （2）

24.1.2 垂直于弦的直径

一、课前预习 (5分钟训练)

1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.

图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3

2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.

4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练)

1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.

2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.

3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.

24.1.2 垂直于弦的直径

一、课前预习 (5分钟训练)

1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.

图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3

2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.

4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练)

1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.

2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.

3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.