向量在解析几何中的应用知乎

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：ab |a||b|cos （2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

ab

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ab 0 x1x2 y1y2 0 （6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |ab|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则ab x1x2 y1y2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证：cos( ) cos cos sin sin 。 证明：在单位圆上，以x轴为始边作角 ，终边交单位圆于A

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浅谈高等代数在空间解析几何中的应用

作者：丰璐

来源：《新校园·上旬刊》2014年第11期

摘 要：高等代数与空间解析几何具有紧密的联系。本文主要是讨论高等代数中的行列式、向量及线性方程组这三个数学工具在空间解析几何中的实际应用。 关键词：行列式；向量；齐次线性方程组；空间解析几何

空间解析几何主要研究两类问题，即用代数方法研究几何图形的几何结构，及用图形的方法给出方程的直观几何解释。高等代数的知识是空间解析几何的主要研究工具，同时空间解析几何也可以使较抽象的高等代数有一个直观的几何应用。因此高等代数与空间解析几何具有紧密的联系，本文主要讨论高等代数中的行列式、向量及齐次线性方程组这三个代数工具在空间解析几何中的应用。

一、向量在空间解析几何中的应用

向量是高等代数中的重要内容，空间解析几何利用三维向量的相关代数知识把直观的几何图形的几何结构转化为代数的定量计算。由下面的例子来说明此问题：

例1：设L，M，N分别为ΔABC三边BC，CA，AB的中点，证明：三中线向量■，■，■可以构成一个三

用向量解决解析几何中“角”的有关问题

同济二附中 钱嵘

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。希腊的亚里士多德（前384-前322）已经知道力可以表示成向量，德国的斯提文（1548?-1620?）在静力学问题上，应用了平行四边形法则。伽利略（1564-1642）清楚地叙述了这个定律。稍后丹麦的未塞尔（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）发现了复数的几何表示，德国高斯（1777-1855）建立了复平面的概念，从而向量就与复数建立了一一对应，这不但为虚数的现实化提供了可能，也可以用复数运算来研究向量。

向量是高中数学新教材与高中数学课程标准中新增内容，向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发并凝注学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。

向量具有代数与几何形式的双重身份，它可以作为新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与解析几何或三角的交汇是当今高考命题的必然趋势.

本文主要从“角”的角度关注了一些近年来与向量相关的高考题，浅析了一些命题趋势，希望为向量教学或复习带来一些帮助。 一．用来证明直线间的垂直关系

例题1. （20

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有

第七章 向量代数与空间解析几何（1，2）

陈建英 上饶职业技术学院

第一节 向量及其线性运算（1、2）

教学目的：理解空间直角坐标系的概念;点的坐标；掌握空间两点的距离公式. 教学重点：空间中的点与三个有序实数的一 一对应关系 教学难点：点的坐标是空间点在坐标轴上的投影 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

立体几何中长方体的对角线计算公理及其常用的公理。 二、新授课

第一节向量及其线性运算 一﹚空间直角坐标系

1．空间直角坐标系Oxyz的概念，如（图7-1）

（1）坐标轴：横轴X轴、纵轴Y轴和

竖轴Z轴三条。

右手法则（遵守右手法则时各种坐标系的画法） 点O称为坐是原点

（2）坐标面：xOy面、yOz面和zOx面。 （图7-1） 2．空间内点的坐标，如（图7-2） （1）M在坐标轴上的投影； （2）点M的坐标M(x,y,z)；

例1 作出点P（2，-3，4）在坐标轴上的投影。

例2求点M（-1，3，-2）在各坐标轴上的投影及在各坐标面上的垂足的坐标。

向量代数与空间解析几何 *.* 向量代数的几个注意点

① 向量平移后，向量的坐标不变，这是因为向量的模和方向都不变

② 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影（即向量的坐标）不同，前者是向量，后者是数量。

????③ 在向量代数中，若a?b?0, 则a;b中不一定有零向量.

?????? 若a?b?a?c,a?0 则c,b不一定相等.

④ 两向量的夹角指两向量正方向的夹角，其限制范围

??⑤ 两非零向量垂直 ?ab?0?0,??

，

??⑥ 两非零向量平行?a?b?0或对应坐标成比例，

⑦ 在解向量方程时，注意：

a）

由于向量没有除法运算，所以在方程中不能除以非零向量；

b） 向量的“乘法”由向量积与数量积之分，还有混合积； c） 向量积不满足交换律；

d） 向量积的模可计算面积，混合积可计算体积及向量共面。

*.* 空间解析几何的几个注意点：

1） 熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式 2） 点到直线距离 直线L过P点，

s为方向向量，

M到L距离

d?PM?ss

3） 公垂线长度 直线L1过P1，

s1 直线L2过P2，s2

d?P1P2?(s1?s2)s1?s2

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平