可逆矩阵的迹的性质

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

矩阵迹的若干个性质与应用

姓名：某某 指导老师：某某

摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F?范数定义Cauchy —Schwarz

不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识

定义1 设

A?(aij)?Cn?n,则trA??aii称为A 的迹。

i?1n定义2 设

nnA?(aij)?Cn?n,记与向量范数AX2相容的A 的F 一范数为: 212AF?(??aij)

i?1j?1(1)A?0?AF?0

(2) KAF?K?AF,?K?C(3) A?B(4) AB(5) AXF

?AF?BF,?A,B?Cn

F?AF?BF,?A,B?Cn?n ?AF2?X2

引理：矩阵迹的性质: 1

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：矩阵可逆的若干判别法

专业：数学与应用数学

年级：2009级

学号：200906034129

作者：姜清亭

指导老师：涂正文

完成时间：2013年5月

目录

摘要........................................................................... I Abstract ...................................................................... II

1 引言 (1)

2 基础知识 (1)

2.1 基本概念 (1)

2.2 矩阵可逆的性质 (3)

3 矩阵可逆的若干判别方法 (3)

3.1定义法 (3)

3.2 行列式判别法 (4)

3.3 伴随矩阵判别法 (4)

3.4 初等变换判别法 (5)

3.5 秩判别法 (7)

3.6 线性方程组判别法 (7)

3.7 哈密顿—凯莱定理求逆矩阵 (10)

3.8 特征值判别法 (10)

3.9 利用Gauss-Jordan法求逆矩阵 (11)

4 常见矩阵的可逆性 (13)

5 其他逆矩阵的求法 (16)

5.1 秩判别法求逆矩阵 (16)

5.2 用分块矩阵求逆矩阵 (17)

5.3 拼接

对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究,讨论了它们可逆的条件,分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系,并给出了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.

第 2卷第 1期 9 220 0 8年 1 2月

通化师范学院学报J OUR NAL OF T NGHUA T AC O E HER L EG S CO L E

V0 . 9№ l 12 2

De c.2 8 00

几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵邵选民(苏州市职业大学教育与人文科学系，江苏苏州 2 50 ) 1 14

摘

要：对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究，讨论了它们可逆的条件，分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系，并给出

了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.关键词：矩阵；逆幂零矩阵；数矩阵整

中图分类号： 5 .1文献标志码：文章编号：0 8- 94 20 ) 2— 0 5— 3 O1 12 A 10 7 7 (0 8 1 0 0 0收稿日期：0 8— 3— l 2 0 0 2

作者简介：邵逸民(9 3一)安徽安庆人， 17,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师.

1预备知识矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，逆矩阵求

用同样的方法可证明 ( ) 2.

定理 2设 1阶矩阵的各行各列中有且只有 1 .一

在矩阵理论中占有重要地

对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究,讨论了它们可逆的条件,分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系,并给出了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.

第 2卷第 1期 9 220 0 8年 1 2月

通化师范学院学报J OUR NAL OF T NGHUA T AC O E HER L EG S CO L E

V0 . 9№ l 12 2

De c.2 8 00

几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵邵选民(苏州市职业大学教育与人文科学系，江苏苏州 2 50 ) 1 14

摘

要：对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究，讨论了它们可逆的条件，分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系，并给出

了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.关键词：矩阵；逆幂零矩阵；数矩阵整

中图分类号： 5 .1文献标志码：文章编号：0 8- 94 20 ) 2— 0 5— 3 O1 12 A 10 7 7 (0 8 1 0 0 0收稿日期：0 8— 3— l 2 0 0 2

作者简介：邵逸民(9 3一)安徽安庆人， 17,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师.

1预备知识矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，逆矩阵求

用同样的方法可证明 ( ) 2.

定理 2设 1阶矩阵的各行各列中有且只有 1 .一

在矩阵理论中占有重要地

对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究,讨论了它们可逆的条件,分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系,并给出了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.

第 2卷第 1期 9 220 0 8年 1 2月

通化师范学院学报J OUR NAL OF T NGHUA T AC O E HER L EG S CO L E

V0 . 9№ l 12 2

De c.2 8 00

几类特殊矩阵的可逆性及其逆矩阵邵选民(苏州市职业大学教育与人文科学系，江苏苏州 2 50 ) 1 14

摘

要：对几类特殊矩阵的逆矩阵问题进行了研究，讨论了它们可逆的条件，分析了这些矩阵与其逆矩阵之间的关系，并给出

了其逆矩阵的特征或求逆矩阵的公式.关键词：矩阵；逆幂零矩阵；数矩阵整

中图分类号： 5 .1文献标志码：文章编号：0 8- 94 20 ) 2— 0 5— 3 O1 12 A 10 7 7 (0 8 1 0 0 0收稿日期：0 8— 3— l 2 0 0 2

作者简介：邵逸民(9 3一)安徽安庆人， 17,苏州市职业大学教育与人文科学系讲师.

1预备知识矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，逆矩阵求

用同样的方法可证明 ( ) 2.

定理 2设 1阶矩阵的各行各列中有且只有 1 .一

在矩阵理论中占有重要地

山西师范大学本科毕业论文

矩阵可逆的若干判别方法

郭晓平

数学与计算机科学学院

数学与应用数学

0701班 0751010139

姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号

指导教师 宋蔷薇 答辩日期 成 绩

矩阵可逆的若干判别方法

内容摘要

对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别

山西师范大学本科毕业论文

矩阵可逆的若干判别方法

郭晓平

数学与计算机科学学院

数学与应用数学

0701班 0751010139

姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号

指导教师 宋蔷薇 答辩日期 成 绩

矩阵可逆的若干判别方法

内容摘要

对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

本科生学年论文（设计）

论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级

指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract：We are o

学校代码： 10722 学号： 1006024112

分类号： O151.21 密级： 公开

题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用

Discussion on Determinant,Positive and Application of

Positive Definite Matrix

作 者 姓 名： 专 业 名 称： 学 科 门 类： 指 导 老 师： 提交论文日期： 2014年5月 成 绩 评 定:

I 咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）

摘 要

在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。