线性代数姜广峰参考答案第三章

第三章 向量组的线性相关性和秩

一 基本要求

1．理解n维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示．

2．理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性． 3．了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩． 4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系．

5．了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵．

二 主要内容

1. 向量

(1) 定义：n个有顺序的数?1,?2,?,?n所组成的数组??(?1,?2,?,?n)叫做n维向量，数?1,?2,?,?n叫做向量?的分量(或坐标)，n称为向量?的维数． (2) 向量的运算

①加法运算：设有向量??(a1,a2,?,an)，??(b1,b2,?,bn)，则

????(a1?b1,a2?b2,?,an?bn).

加法运算满足运算规律： 交换律：???????.

结合律：??(???)?(???)??.

②数量k与向量?的乘积：k??(ka1,ka2,?,kan). 数乘运算满足运算规律： 交换律：k???k. 结合律：k(l?)?(kl)?.

分配律：k(???)?

线性代数课本第三章习题详细答案

第三章 课后习题及解答

将1，2题中的向量 表示成 1, 2, 3, 4的线性组合：

1． 1,2,1,1 , 1 1,1,1,1 , 2 1,1, 1, 1 , 3 1, 1,1, 1 , 4 1, 1, 1,1 .

T

T

T

T

T

2． 0,0,0,1 , 1 1,1,0,1 , 2 2,1,3,1 , 3 1,1,0,0 , 4 0,1, 1, 1 .

解：设存在k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 2

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 1

解得k1

5454

,k2

14

,k3

14

,k4

14

.

所以

1

14

2

14

3

14

4.

设存在 k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 2k2 k3 0，k1 k2 k3 k4 0，

3k2 k4 0，k1 k2 k4 1.

解得 k1 1,k2 0,k3 1,k4 0. 所以 1 3.

线性代数课本第三章习题详细答案

判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. 1 1,1,1 , 2 0,2,

线性代数第三章综合自测题

一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面

横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组α1,α2,?,αm线性表示，则（ D ）。

（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm （B）对β的线性表示惟一

（C）向量组β,α1,α2,?,αm线性无关

（D）存在一组数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm 2. 向量组?1,?2,?,?t线性无关的充分条件是（ C ） （A）?1,?2,?,?t均为非零向量；

（B）?1,?2,?,?t的任意两个向量的分量不成比例； （C）?1,?2,?,?t中任意部分向量组线性无关； （D）?1,?2,?,?t中有一个部分向量组线性无关。

3. 若α1,α2,?,αm线性相关，且k1α1?k2α2???kmαm?0，则（ D ）。 （A）k1?k2???km?0 （B）k1,k2,?,km全不为零 （C）k1,k2,?,km不全为零 （D）上述情况都有可能 4. 一个m?n阶矩阵

第三章 习题与答案 习题 A

TT1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1?4??1??16??12??5??16??1???????????????12931094???????. 解 3α1?5α2?α3?3???5????????????3???3??1???9???15??1???25???????????????22?3?610?37??????????????2.从以下方程中求向量?

3(α1?α)?2(α2?α)?5(α3?α)，

T其中α1?(2,5,1,3),αT,5,10),αT,?1,1). 2?(10,13?(4,1解 由方程得3α1?3α?2α2?2α?5α3?5α?0，

?2??10??4??6?????????51112 6α?3α1?2α2?5α3?3???2???5?????

?1??5???1??18??????????3??10??1??24??1???2故α???,即αT?(1,2,3,4).

?3????4?3.求证:向量组α1,α2,?,αi,?αs中

第三章 向 量 空 间3.1 3.2 3.3 3.4 n维向量概念及其线性运算 线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间

3.1

n维向量概念及其线性运算

3.1.1 n维向量及其线性运算 3.1.2 向量的线性组合

3.1.1 n维向量及其线性运算定义3.1.1 由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组 ( a1,a2,……,an )称为一个n维向量， 数ai称为该向量的第i个分量 i=1,2,…,n

向量的维数指的是向量中分量的个数. 向量写成一行(a1,a2,……,an) 列向量写成一行 (a1,a2,……,an)T列向量写成一列 a1 a2 . an

行向量

用小写的黑体字母:α,β, x, y , …表示向量用带下标的白体字母:ai,bi, xi, yi, …表示向量 1 行 、 列 不 同 不 等 ： 1, 2 2

次序不同不等：

1, 2 2, 1

n维向量——矩阵定义一 个 n 维 行 向 量 a 1 , a 2 , , a n .可 以 定 义 为 一 个 1 n的 矩 阵

b1

第三章 线性空间

习题精解

1. 把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.

1)??(1,2,1,1)?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)

?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)

?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4

代入所给向量，可得线性方程组

?k1?k2?k3?k4?1?k?k?k?k?2?1234 ??k1?k2?k3?k4?1??k1?k2?k3?k4?1解之，得

k1?因此

5111, k2?, k3??, k4?? 4444???1??2??3??4

2）同理可得

54141414???1??3

2.证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量可由?1,?2,?,?r线性表出.

证 由题设，可以找到不全为零的数k1,k2,?,kr?1使

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0

显然kr?1?0.事实上，若kr?1?0，而k1,k2,?,kr不全为零，使

第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的

n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构

成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含a15a23a32a44a51a66的项的符号为 ，含

a32a43a14a51a66a25的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

a11(1) 00a22a320a23

a330解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。

00(2)

00an?1,2an20a2,n?1an?1,n?1an,n?1a1na2n

0an1an?1,na

第三章水泥 习题参考答案

一、填空题：

1. 硅酸盐水泥 普通硅酸盐水泥 矿渣硅酸盐水泥 火山灰质硅酸盐水泥 粉煤灰硅酸盐水泥 复合硅酸盐水泥

2. 0%~5% 石膏

3.42.5 42.5R 52.5 52.5R

4.硅酸盐水泥 普通硅酸盐水泥

5.200t 500t

二、单选题：

1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. B 7. A 8. D 9. B

三、简述题：

1.简述通用水泥的主要技术性能指标？

①组分

②强度等级

硅酸盐水泥的强度等级分为42.5、42.5R、52.5、52.5R、62.5、62.5R六个等级。 普通硅酸盐水泥的强度等级分为42.5、42.5R、52.5、52.5R四个等级。

矿渣硅酸盐水泥、火山灰质硅酸盐水泥、粉煤灰硅酸盐水泥、复合硅酸盐水泥的强度等级分为32.5、32.5R、42.5、42.5R、52.5、52.5R六个等级。

③化学指标

1.强制性指标：不溶物、烧失量、三氧化硫、氧化镁、氯离子含量

2.选择性指标（碱含量）

水泥中碱含量按Na2O+0.658K2O计算值表示。若使用活性骨料，用户要求提供低碱水泥时，水泥中的 碱含量应不大于0.60%或由买卖双

第三章水泥 习题参考答案

一、填空题：

1. 硅酸盐水泥 普通硅酸盐水泥 矿渣硅酸盐水泥 火山灰质硅酸盐水泥 粉煤灰硅酸盐水泥 复合硅酸盐水泥

2. 0%~5% 石膏

3.42.5 42.5R 52.5 52.5R

4.硅酸盐水泥 普通硅酸盐水泥

5.200t 500t

二、单选题：

1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. B 7. A 8. D 9. B

三、简述题：

1.简述通用水泥的主要技术性能指标？

①组分

②强度等级

硅酸盐水泥的强度等级分为42.5、42.5R、52.5、52.5R、62.5、62.5R六个等级。 普通硅酸盐水泥的强度等级分为42.5、42.5R、52.5、52.5R四个等级。

矿渣硅酸盐水泥、火山灰质硅酸盐水泥、粉煤灰硅酸盐水泥、复合硅酸盐水泥的强度等级分为32.5、32.5R、42.5、42.5R、52.5、52.5R六个等级。

③化学指标

1.强制性指标：不溶物、烧失量、三氧化硫、氧化镁、氯离子含量

2.选择性指标（碱含量）

水泥中碱含量按Na2O+0.658K2O计算值表示。若使用活性骨料，用户要求提供低碱水泥时，水泥中的 碱含量应不大于0.60%或由买卖双

第三章 数据分布特征的描述

一、单项选择题 1、经验表明，当数据分布近似于正态分布时，则有95%的数据位于区间（ ） A、X?? B、X?2? C、X?3? D、X?4? 2、实际中应用最广泛的离散程度测度值是（ ）

A、极差和平均差 B、平均差和四分位差 C、方差和标准差 D、异众比率和四分位差

3、集中趋势的测度值中，最主要的是（ ）

A、众数 B、中位数 C、均值 D、几何平均数

4、有10个数据，它们对数据6的离差分别为：-3，-2，-2，-2，0，0，4，4，5，5。由此可知这10个数据的（ ）

A、均值为0 B、均值为1 B、均值为6 C、均值为6.9

5、某生产小组由36名工人，每人生产的产量数量相同，其中有14人生产每件产品耗时8分钟；16人生产每件产品耗时10分钟；6人生产每件产品耗时5分钟，计算该生产小组生产每件产品的平均耗时应采用（ ）

A、简单