泰勒公式泰勒级数泰勒展开式

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录

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1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ············································

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

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1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ············································

.

精品 图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

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4!3!21)(;!

3!21)(;!

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32443

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2211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+====

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5

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Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation

X Y

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精品 图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

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5!3)(;!

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3311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-=====

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Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation

X Y

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精品 图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

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数学科学学院本科学年论文 泰勒公式的展开及其应用

泰勒公式及其应用

摘要

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。

一、泰勒公式及其余项

1：泰勒公式

对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式，

f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n称为函 Tn(x0)?f(x0)?1!2!n!f(k)(x0)(k?1,2,?,n)称为泰勒数f在点x0处的泰勒(Taylor)多项式,Tn(x)的各项系数

k!系数。

2：泰勒余项

定理1：若函数f在点x0存在直到n阶导数，则有f(x)?T(n)??((x?x0)n)；即

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??((x?x0)n)

目 录

摘要 ??????????????????????????????1 英文摘要 ????????????????????????????2 第一章 绪论??????????????????????????3 第二章 泰勒公式????????????????????????5 1.1泰勒公式的意义 ????????????????????????5 1.2泰勒公式余项的类型???????????????????????5 1.3泰勒公式 ???????????????????????????6

第三章 泰勒公式的实际应用 ??????????????????7 2.1利用泰勒公式求极限 ??????????????????????7 2.2利用泰勒公式进行近似计算 ???????????????????8 2.3在不等式证明中的应用 ?????????????????????9 2.4泰勒公式在外推上的应用 ????????????????????10 2.5求曲线的渐近线方程 ??????????????????????11 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用????????????13 2.7在广义

本科毕业论文

论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名：王子贺 学专

号：201100810613 业：数学与应用数学(金融与金融工程方向)

指导教师：崔振 学 院：数学科学学院

1 2015年 04月 20日

1

毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计） 题 目 选题时间 高等数学中的数形结合思想 论文（设计） 字数 2014、12 完成时间 2015、5 关 键 词 泰勒公式 应用 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。同时泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式，求初等函数的幂级数展开式,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点等方面都有着重要应用。为此，本文将对泰勒公式做出详细的介绍，在此基础上简述泰勒公

列谈泰勒公式的应用

摘要：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。本文利用泰勒公式这个特点，简单的介绍了无理数的近似方法，以及求极限的方法。

关键词：泰勒公式；应用；无理数；求极限

列谈泰勒公式的应用

【预备知识】：

泰勒公式：

设f(x)在x0处存在n阶导数：

f(x)''f(n)(x)2Tn(x)?f(x0)?f(x)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n

2!n!'Rn(x)?f(x)?Tn(x)?f(x)?Tn(x)?Rn(x)

一、用泰勒公式近似无理数：

f''(x)f(n)(x)2fn(x)?f(x)?f(x)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n利用 2!n!'（公式1）

近似以下无理数：

1.1 x(0?x?3)的近似：

n?令f(x)?(1?x)?，并且记c??(??1)?(??n?1)n!则可求得：

122nn(1?x)??1?c?x?c?x???c?x??

特殊的，当??时，(1?x)??1?x，于是就有

(?1)(?1)31

本科学年论文（设计）

论文题目：泰勒公式的应用

学生姓名： 孙逸瑛 学 号： 1004970234 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学1002 指导教师： 严惠云

完成日期： 2013 年 3月 8 日

泰勒公式的应用

内容摘要

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一

本科学年论文（设计）

论文题目：泰勒公式的应用

学生姓名： 孙逸瑛 学 号： 1004970234 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学1002 指导教师： 严惠云

完成日期： 2013 年 3月 8 日

泰勒公式的应用

内容摘要

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一

泰勒公式与导数的应用

名称 泰 勒 公 式 主要内容 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?(n?1)!介于，称为拉格朗日型余项；或x0于x之间）Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1其中Rn(x)?x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 (n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n2）sinx?x?????(?1)?o(x2n?2) 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx3）cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!6