小学奥数计数问题

计数问题专题训练

数字计数

一、知识梳理：

数字计数的问题，是研究计算符合条件的数有多少或数字出现的次数的一类问题。一般解题的思路为设法把它们分成几个部分，分别去研究从而得到问题的解答。

二、例题精讲：

1、从0至99的整数中，数字0和1各出现了多少次？ 解析：把0至99这100个整数分成10段。

0至9，0和1各出现了1次，10至19，0出现1次，1出现11次； 20至29，0和1各出1次； 30至39，0和1各出1次； 40至49，0和1各出1次； 50至59，0和1各出1次； 60至69，0和1各出1次； 70至79，0和1各出1次； 80至89，0和1各出1次； 90至99，0和1各出1次； 共计：0了现了1×10=10次，1出现11+1×9=20次

2、从156至591的整数中，数字“2”共出现了多少次？ 解析：把156至591的数分成以下几段：

156至199，百位0次，十位0次，个位4次 200至299，百位100次，十位10次，个位10次 300至399，百位0次，十位10次，个位10次

计数问题专题训练

数字计数

一、知识梳理：

数字计数的问题，是研究计算符合条件的数有多少或数字出现的次数的一类问题。一般解题的思路为设法把它们分成几个部分，分别去研究从而得到问题的解答。

二、例题精讲：

1、从0至99的整数中，数字0和1各出现了多少次？ 解析：把0至99这100个整数分成10段。

0至9，0和1各出现了1次，10至19，0出现1次，1出现11次； 20至29，0和1各出1次； 30至39，0和1各出1次； 40至49，0和1各出1次； 50至59，0和1各出1次； 60至69，0和1各出1次； 70至79，0和1各出1次； 80至89，0和1各出1次； 90至99，0和1各出1次； 共计：0了现了1×10=10次，1出现11+1×9=20次

2、从156至591的整数中，数字“2”共出现了多少次？ 解析：把156至591的数分成以下几段：

156至199，百位0次，十位0次，个位4次 200至299，百位100次，十位10次，个位10次 300至399，百位0次，十位10次，个位10次

小学奥数几何计数

一、知识点

（1）分类：数图形、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。 （2）方法：①基本图形法（一个基本图形、二个基本图形、三个基本图形。。。）

②标号计数法 ③公式法

注：基本图形法与标号计数法均为列举法。 （3）特殊：长方形个数=长边总线段数×宽边总线段数

正方形个数=a×b+（a-1）×（b-1）+（a-2）×（a-2）+…. 注：总线段数、a与b表示的是基本图形数

二、基础题

1、数出右图中总共有多少个角

2、下列图形各有几条线段

3、数一数图中长方形的个数

4、数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

5、数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正

方形）

6、数一数图中三角形的个数

三、巩固题

1、共有多少个三角形？

2、数一数图中三角形的个数

3、下图共有几个正方形?

4、右图的图形中一共有多少个三角形?

5、一条直线上共有50个点,可以数出(

几何计数

知识框架图 7 计数综合

7-8 几何计数

教学目标

1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．

本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．

知识要点

一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成

2?2?3?……?n?12(n?n?2)个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……

在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．

排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类

数线段：如果一

奥数精品

【例1】

小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅? (注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数 可知：5个手指间有4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的 一只手有5个手指4个 间隔。

【例2】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长?

解：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

【例3】把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成lO段，需要几分钟? ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟?

解：_画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

【例4】鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12

奥数精品

【例1】

小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅? (注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数 可知：5个手指间有4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的 一只手有5个手指4个 间隔。

【例2】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长?

解：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

【例3】把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成lO段，需要几分钟? ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟?

解：_画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

【例4】鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。

小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块，其中必须掌握的三十六个知识点，内容从和差倍问题、年龄问题到循环小数，包含了小学奥数七个模块的知识。 以下是小学奥数知识清单：

2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3、归一问题

基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；

5、鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题

基本概念：一定量

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○?

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。

小学奥数时钟问题

钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的、在圆周上的行程问题；如求分针与时针重合、成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。为解好这类问题应掌握以下基础知识.即常用关系式.

1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走格.为0.5°.分针速度是时针速度的12倍，时针是分针速度的.

2．时针和分针在重合状态时，分针每再走60÷(1－次. )=65(分),再与时针重合一

3. 若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为: a÷(1－)(分)

4. 两针垂直,表示它们所成最小角是90°.

5. 两针在一直线上，它们成的角是180或0

现举几例阐述解题方法与思路.

例1、现在是4时,什么时候,时针和分针第一次相遇？

解：由20÷（1-）=21（分）,在4点21分.

例2、在10时与11时之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?

解：第一次垂直需走 5÷（1-）=5（分）,在10点5