空间向量直角坐标运算公式

9.6空间向量的直角坐标及其运算(二)

教学目的：

1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；

2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 教学重点：夹角公式、距离公式

教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用.

授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：

一、复习引入： 1.空间直角坐标系：

???（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；

??????（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方

向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直

???角坐标系O?xyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐

标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数

z??????组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在

空间直角坐标系O?xyz中的坐

9.6空间向量的直角坐标及其运算(二)

教学目的：

1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；

2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 教学重点：夹角公式、距离公式

教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用.

授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：

一、复习引入： 1.空间直角坐标系：

???（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；

??????（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方

向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直

???角坐标系O?xyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐

标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数

z??????组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在

空间直角坐标系O?xyz中的坐

1 3．1.4 空间向量的直角坐标运算 学习目标 1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．

知识点一 空间向量的坐标表示

思考 平面向量的坐标是如何表示的？

梳理 空间直角坐标系及空间向量的坐标

(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做________________．单位向量i ，j ，k 都叫做____________．

(2)空间向量的坐标

在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝________________.

知识点二 空间向量的坐标运算

思考 设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，那么m ＋n ，m －n ，λm ，m ·n 如何运算？

4.3 空间直角坐标系 高中数学组 郭素霞

一、教学目标 1．知识与技能

（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景 （2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 （3）掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法

建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观

通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.

二、教学重点和难点

空间直角坐标系中点的坐标表示、空间两点间的距离公式。 三、教学过程 （一）新课导入

在平面直角坐标系中我们可以做出一个圆，那么我们能不能在平面直角坐标系中做一个球呢？如果能，怎么做？如果不能，为什么？如果想把球放在坐标系中，应该怎么办？

（引出建立空间直角坐标系）

那么空间直角坐标系应该怎样建立呢？ （二）讲授新课 1、预习巩固

①建立空间直角坐标系：从空间某一个定点o引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O?xyz.点O叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．

通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与

2.4.1空间直角坐标系 2.4.2空间两点的距离公式

【新知探究】阅读教材106页~107页完成下列内容：

1.空间直角坐标系：为了确定空间点的位置，我们在直角坐标系xoy中，通过原点o,再做一条数轴，使它与x轴，y轴。这样它们中的任意两条轴；轴的方向这样选择：从正方向看，的正半轴逆时针旋转90o能与的正半轴重合。这样，就在空间建立了一个空间直角坐标系o-xyz。叫做坐标原点。 2.空间直角坐标系点的坐标：（1）过空间内任意一点P作一个平面平行于平面 ,这个平面与x轴的交点记为，它在x轴上的坐标为，这个数x叫做点P的x坐标。

（2）过空间内任意一点P作一个平面平行于平面 ,这个平面与y轴的交点记为，它在y轴上的坐标为，这个数y叫做点P的y坐标。

（3）过空间内任意一点P作一个平面平行于平面 ,这个平面与z轴的交点记为，它在z轴上的坐标为，这个数x叫做点P的z坐标。 3.坐标平面：每两条坐标轴分别确定平面：、、，叫做坐标平面。

4.卦限：三个坐标平面将将空间分成个部分，每一部分称为一个，在坐标平面xoy上方，由x轴正向逆时针旋转，分别为第、、、、卦限，在坐标平面XOY下方，由x轴正向逆时针旋转，分别为第、、

空间直角坐标系

一、空间直角坐标系建立从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐 标系0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面.

在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系.

说明: ☆本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.x o

z

y

三、空间任一点坐标的求法过点M作三个平面分别垂直 于x轴、y轴、z轴分别交于P、 R、Q(即点A在坐标平面的射 影)。点P、R、Q在相应坐标 轴上的坐标依次为x,y,z则 有序实数对(x,y,z)叫做 点M的坐标

zR

M ( x, y, z )

o

Q

y

x

P

例1、在如图长方体中，已知 OA = 3, OC = 4, OD¢ = 2, 试求其顶点的坐标。z D' C'

分析：1.分别找射影2.找射影在坐标轴对 应的点x

A'O

B'

C y A B

z D' C'

1.坐标平面内的点B'

A'O

xoy平面上的点表示为(x,y,0)C y

yoz平面上的点表示为(0,y,z) xoz平面上

第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化

一、 教学目标

掌握极坐标与直角坐标的互化

二、教学重点

对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用

三、教学难点

极坐标与直角坐标的互化的运用

四、教学过程

1. 创设情境引入

Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.

假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ

则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:

cos sin x y θθ

ρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的）

ρ,tan (0)y x x

θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<

Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。

Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？

Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；

（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；

（３）两坐标取相同的长度单位。

否则不能用上面的换算公式。

根据上面的换算公式来解一下例１

例1．（1）把点M 的极坐标)3

2,

平面直角坐标系

1.AB关于x轴对称（a,-b）;2.关于y轴对称（-a,b）3.关于原点...（-a,-b）4.关于一三象限角平分线（b,a）5.关于二四象限角平分线（-b,-a）6.两点间距离______________________.7.k=________________. 2.特殊三角形顶点坐标：1.代数 2.两圆一线 3.坐标系中图形面积：分割法/割补法→底乘高除以二→求两点间距离→求点→利用已知点求解析式代入

1.如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是________．

2.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=-x+m与x、y轴的正半

轴分别相交于点A、B，过点C（-4，-4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．

（1）求点D的坐标和直线l的解析式； （2）求证：△ABC是等腰直角三角形；

（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所

平面直角坐标系

一、选择题:(每小题3分,共12分) 1.如图1所示,点A的坐标是 ( )

A.(3,2); B.(3,3); C.(3,-3); D.(-3,-3) 2.如图1所示,横坐标和纵坐标都是负数的点是 ( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 3.如图1所示,坐标是(-2,2)的点是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.若点M的坐标是(a,b),且a>0,b<0,则点M在( ) A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限 二、填空题:(每小题3分,共15分)

1.如图2所示,点A的坐标为_______,点A关于x轴的对称点B的坐标为______, 点B关于y轴的对称点C的坐标为________.

2.在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A关于x轴的对称点A ′的坐标为_____,点A关于y轴的对称点A″的坐标为_______.

3.在坐标平面内,已知点A(a,b),那么点A关于x轴的对称点A ′的坐标为______,点A关于y轴的对称点A″的坐标为_____.

(1)

4.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2

第10 空间向量的坐标运算(教师版)

基础过关题

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3) (1) a±b＝ (2)

?a＝ ．

(3) a·b＝ ．

(4) a∥b? ；a?b? ． (5) 设A?(x1,y1,z1),B?(x2,y2,z2)

则AB＝ ，AB? ． AB的中点M的坐标为 ．

典型例题

例1. 若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5)

（1）若(ka+b)∥(a－3b)，求实数k的值； （2）若(ka+b)⊥(a－3b)，求实数k的值； （3）若ka?b取得最小值，求实数k的值． 解：(1)k??13；

(2)k?1063； (3)k??827

????????????????????????????变式训练1. 已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，求AC．?????????解：设OC?x,y,z?,BC??x?1,y?1,z?2?，

??????